การคำนวณเชิงตัวเลข (๒) การแก้สมการอนุพันธ์ด้วยฟังก์ชันพหุนาม MO Memoir : Monday 21 June 2553

จาก Memoir ฉบับที่แล้ว (ปีที่ ๒ ฉบับที่ ๑๗๔ เรื่อง การคำนวณเชิงตัวเลข (๑) การแก้สมการอนุพันธ์ด้วยฟังก์ชันพหุนาม) ที่ผมกล่าวไว้ว่า

ตรงนี้ขอขยายความตรงข้อความที่เน้นไว้คือ "บริเวณที่คำตอบมีการเปลี่ยนแปลงมาก" เพราะพออ่านแล้วรู้สึกว่าจะใช้คำที่มีความหมายกำกวมไปหน่อย

อันที่จริงแล้วควรจะกล่าวว่าเป็น "บริเวณที่เส้นกราฟของคำตอบมีการเปลี่ยนแปลงทิศทาง" หรือ "มีการเปลี่ยนความชันอย่างรวดเร็ว" อาจจะให้ความหมายที่ดีกว่า เพราะถ้าใช้คำว่า "บริเวณที่คำตอบมีการเปลี่ยนมาก" อาจทำให้เข้าใจผิดได้ว่าเป็นบริเวณที่กราฟมีความชันมาก ดังนั้นเพื่อให้เห็นภาพจึงจะขอให้พิจารณารูปที่ 1 ข้างล่าง

จากรูปที่ 1 เส้นกราฟสีเขียวจะมีตำแหน่งที่กราฟมีการเปลี่ยนทิศทางอย่างรวดเร็วอยู่บริเวณทางด้านซ้าย ส่วนเส้นกราฟสีแดงมีการเปลี่ยนทิศทางอย่างรวดเร็วอยู่บริเวณทางด้านขวา แม้ว่าทางด้านขวาของลูกศรสีน้ำเงินจะมีค่าฟังก์ชันที่เปลี่ยนแปลงมาก แต่การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวค่อนข้างราบเรียบ (กราฟไม่ได้มีการบิดตัวมาก) ดังนั้นเพื่อให้คำตอบนั้นออกมาดีที่จุด การเลือกตำแหน่งจุด x เพื่อใช้คำนวณค่า a₂ จึงควรอยู่ที่บริเวณที่ระบุไว้ด้วยลูกศรสีน้ำเงิน ซึ่งเป็นบริเวณที่กราฟมีการเปลี่ยนแปลงทิศทางอย่างรวดเร็ว

ฟังดูมันเหมือนง่าย แต่ในความเป็นจริงนั้นมันมีปัญหาตรงที่เป็นเรื่องปรกติที่ "เรามักไม่ทราบว่ากราฟของคำตอบนั้นมันมีหน้าตาเป็นอย่างไร" ทำให้เราไม่สามารถกำหนดจุด x ที่เหมาะสมที่ควรใช้เพื่อคำนวณค่า a₂ ได้

เรื่องหน้าตาของคำตอบนี้ขอพักเอาไว้ก่อน ตอนนี้ขอย้อนกลับไปยังตัวอย่างเดิมใน Memoir ฉบับที่แล้ว (ปีที่ ๒ ฉบับที่ ๑๗๔) โดยจะทดลองดูว่าถ้าเราเปลี่ยนจุดx ที่ใช้คำนวณค่า a₂ (โดยใช้สมการที่ (11)) จาก 0.5 ไปเป็น 0.3 และ 0.7 ผลการคำนวณจะออกมาอย่างไร

กระบวนการคำนวณหาค่า a₁ และ a₂ และตรวจสอบว่าค่าใดเป็นค่าที่ถูกต้องนั้นกระทำตามวิธีที่กล่าวไว้ในบันทึกฉบับที่แล้วทุกประการ เว้นแต่เปลี่ยนค่า x เป็น 0.3 หรือ 0.7 เท่านั้นเอง ผลการคำนวณที่ได้มานั้นแสดงไว้ในตารางและรูปข้างล่าง และยังได้ทำการเปรียบเทียบ อุณหภูมิ ฟลักซ์ความร้อน และส่วนตกค้าง เมื่อเลือกจุด x ที่ใช้คำนวณค่า a₂ เป็น 0.3 0.5 และ 0.7 ไว้ในรูปที่ 4-6 ด้วย

แม้ว่าผลที่แสดงในรูปที่ 4 จะทำให้รู้สึกว่าไม่ว่าจะเลือกจุด x เป็น 0.3 0.5 หรือ 0.7 ก็ไม่ได้ทำให้ค่าอุณหภูมิที่คำนวณได้แตกต่างกันมากนั้น แต่ถ้าพิจารณาฟลักซ์ความร้อน (รูปที่ 5) หรือส่วนตกค้าง (รูปที่ 6) จะพบว่าให้ผลที่แตกต่างกันค่อนข้างมาก (ตรงนี้ขอหมายเหตุไว้นิดนึงว่า เนื่องจากเป็นการถ่ายเทความร้อนในภาวะคงตัวจากทางผนังด้านซ้าย (x = 0) ไปทางผนังด้านขวา (x = 1) ดังนั้นค่าฟลักซ์ความร้อนที่ตำแหน่ง x ใด ๆ จึงควรเท่ากันหมด กล่าวอีกนัยหนึ่งคือความร้อนที่ไหลเข้ามาจะเท่ากับความร้อนที่ไหลออกไปโดยไม่มีการสะสม)

การทำให้ส่วนตกค้างลดลงนั้นทำได้โดยการใช้ฟังก์ชันพหุนามที่มีอันดับสูงขึ้น (เช่นใช้สมการกำลัง 3 หรือกำลัง 4) ซึ่งจะทำให้เราได้ตำแหน่งที่มีค่าส่วนตกค้างเป็นศูนย์มากขึ้น หรือโดยการแบ่งช่วงการคำนวณออกเป็นช่วงย่อย ๆ ที่แคบลง เช่นแบ่งออกเป็นช่วง [0.0,0.5] และ [0.5,1.0] โดยมีสมการหนึ่งสำหรับใช้ในช่วง [0.0,0.5] และอีกสมการหนึ่งใช้ในช่วง [0.5,1.0] และใช้เงื่อนไขบังคับให้ค่าของฟังก์ชัน (และอาจรวมถึงอนุพันธ์อันดับ 1 ด้วย) ที่ตำแหน่ง x = 0.5 ของช่วง [0.0,0.5] ต่อเนื่องกับค่าของฟังก์ชันที่ตำแหน่ง x = 0.5 ของช่วง [0.5,1.0] ซึ่งตรงจุดนี้ขอพักเอาไว้ก่อนและจะแสดงให้เห็นในตอนต่อไป