ตรงนี้ขอบันทึกไว้นิดนึง
เนื้อหาในบทความชุดนี้นับตั้งแต่ตอนที่
๑ นั้นอิงมาจากตัวอย่างในหนังสือ
"Nonlinear
Analysis in Chemical Engineering" ที่เขียนโดย
Prof. Bruce A.
Finlayson เล่มที่ผมมีนั้นเป็นฉบับพิมพ์เมื่อค.ศ.
๑๙๘๐
เหตุผลที่มีเล่มนี้ก็เพราะต้องใช้ในการทำวิทยานิพนธ์ตอนเรียนปริญญาเอก
สมัยเรียนปริญญาตรีได้เรียนเรื่องการแก้ปัญหาสมการอนุพันธ์แยกออกมาเป็นวิชาหนึ่งต่างหาก
(๓
หน่วยกิต)
และเทคนิคหนึ่งในการแก้ปัญหาที่ได้เรียนก็คือการสมมุติว่าคำตอบนั้นประมาณค่าได้ด้วยอนุกรมอนันต์
(Infinite series)
สมัยที่เรียนก็ท่องจำกันแต่ว่าถ้าสมการอนุพันธ์มีหน้าตาแบบนี้
ก็ให้ใช้อนุกรมตัวนี้ในการแก้โจทย์
กว่าจะเข้าใจว่าทำไปต้องเป็นเช่นนั้นก็ผ่านไปหลายปีเหมือนกัน
กล่าวคืออนุกรมอนันต์แต่ละอนุกรมนั้นมันมีลักษณะเฉพาะตัวของมัน
ถ้าเราเลือกอนุกรมอนันต์ที่มีพฤติกรรมใกล้เคียงกับพฤติกรรมของคำตอบของโจทย์ของเรา
การลู่เข้าหาคำตอบก็จะรวดเร็วขึ้น
กล่าวคือการได้มาซึ่งตัวเลขค่า
y
หลังจากแทนค่า x
เข้าไปในอนุกรมอนันต์ที่เป็นตำตอบนั้นนั้นไม่จำเป็นต้องใช้จำนวนพจน์มาก
ลองดูตัวอย่างนี้ได้ใน
Memoir ปีที่
๗ ฉบับที่ ๘๘๗ วันอาทิตย์ที่
๙ พฤศจิกายน ๒๕๕๗ เรื่อง
"ฟังก์ชันแกมมา (Gamma function) และฟังก์ชันเบสเซล (Bessel function)"
คำตอบของสมการที่ใช้ในงานทางวิศวกรรมเคมีนั้นจำนวนไม่น้อยเป็นคำตอบที่มีความสมมาตร
กล่าวคือ ณ ตำแหน่ง x
ใด ๆ
ที่ห่างออกไปจากตำแหน่งจุดสมมาตรไม่ว่าจะเป็นทางซ้ายหรือขวาเป็นระยะที่เท่ากัน
จะมีค่า y
เท่ากัน
ตัวอย่างของโจทย์ประเภทนี้ได้แก่การเปลี่ยนแปลงอุณหภูมิและความเข้มข้นในแนวรัศมีของ
tubular reactor
(ในกรณีของการทำงานแบบ
nonisothermal
nonadiabatic) ที่มีความสมมาตรรอบแนวแกนกลางของ
reactor
การเปลี่ยนแปลงความเข้มข้นของสารในอนุภาคตัวเร่งปฏิกิริยาที่เป็นทรงกลมที่มีความสมมาตรรอบจุดศูนย์กลางของทรงกลม
เป็นต้น
ดังนั้นจะเป็นการดีกว่าถ้าหากเราใช้ฟังก์ชันที่มีความสมมาตรมาเป็นฟังก์ชันที่ใช้ประมาณค่าคำตอบ
ฟังก์ชันพหุนามนั้น
ถ้ากำลังสูงสุดเป็นเลขคี่
(odd number)
ปลายทั้งสองข้าง (คือเมื่อ
x
เข้าหา ∞
หรือ -∞
) จะชี้ไปคนละทางกัน
แต่ถ้ากำลังสูงสุดเป็นเลขคู่
(even number)
ปลายทั้งสองข้างจะชี้ไปคนละทางกัน
(คือข้างหนึ่ง
y
จะเข้าหา ∞
ในขณะที่อีกข้างหนึ่งจะเข้าหา
-∞
) และถ้าเลขยกกำลังนั้นมีแต่เลขคู่
ฟังก์ชันนั้นก็จะมีความสมมาตรรอบแกนสมมาตร
(คือห่างจากตำแหน่ง
x
ที่เป็นจุดสมมาตรไปทางซ้ายและขวาเป็นระยะ
x
ที่เท่ากัน จะมีค่า y
เท่ากัน)
และเราก็สามารถใช้ประโยชน์ตรงจุดนี้ในการนำมาสร้าง
orthogonal function
ที่มีความสมมาตรเพื่อใช้หาคำตอบของปัญหาที่มีความสมมาตร
ในหนังสือของ
Finlayson หน้า
๙๔ ได้ให้สมการสำหรับคำนวณหา
orthogonal function
ในช่วง [0,
1] สำหรับฟังก์ชันพนุนามที่เป็นฟังก์ชันคู่ไว้ดังนี้
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น