การคำนวณค่าฟังก์ชันพหุนาม (การทำวิทยานิพนธ์ภาคปฏิบัติ ตอนที่ ๙๖) MO Memoir : Sunday 2 December 2561

"ผล simulation นั้นมันแต่งได้" ผมเคยเอ่ยข้อความนี้ไว้กับหลายคนที่มาปรึกษาผมเกี่ยวกับงาน simulation
 

ในเรื่อง "เมื่อ 1 ไม่เท่ากับ 0.1 x 10" นั้น ได้แสดงให้เห็นว่าเมื่อเราเปลี่ยนจากเลขฐาน 10 ไปเป็นเลขฐาน 2 เพื่อทำการคำนวณบนเครื่องดิจิตอลคอมพิวเตอร์นั้นมันก่อให้เกิดความคลาดเคลื่อนในการแปลงตัวเลขอย่างไร และในเรื่อง "จำนวนที่น้อยที่สุดที่เมื่อบวกกับ 1 แล้วได้ผลลัพธ์ที่ไม่ใช่ 1 นั้น" ก็ได้แสดงให้เห็นว่าสิ่งที่ในทางคณิตศาสตร์ถือว่าเท่าเทียมกันนั้น แต่พอมาคำนวณด้วยระบบเลขทศนิยมมันอาจมีปัญหาในบางช่วงของค่าตัวเลขได้ 
  

มาวันนี้จะขอยกตัวอย่างอีกตัวหนึ่งที่ในทางคณิตศาสตร์แล้วสมการมันต้องเท่าเทียมกัน (และไม่ควรให้ผลลัพธ์ออกมาแตกต่างกันด้วย) แต่พอคิดเป็นตัวเลขออกมาปรากฏว่ามันให้ผลที่แตกต่างกัน คือการคำนวณค่าฟังก์ชันพนุนามหรือ polynomial ประเด็นที่สำคัญคือปัญหานี้มันไม่ได้เกิดกับทุกช่วงค่าของสมการ แต่มันเกิดเฉพาะตรงบางตำแหน่งเท่านั้น ดังเช่นตัวอย่างที่นำมาแสดงในวันนี้ดัดแปลงมากจากหนังสือของ J.M.Ortega and W.G. Poole,Jr.,"An introduction to numerical methods for differential equations", Pitman Publishing Limited, London (1991)
 

กำหนดฟังก์ชันพหุนามที่เขียนในรูปคำสั่งยกกำลัง
 

f(x) = x⁶ - 6x⁵ + 15x⁴ - 20x³ + 15x² - 6x + 1      (1)

สามารถเขียนใหม่ได้ในรูป 
 

f(x) = x(x(x(x(x(x - 6) + 15) - 20) + 15) - 6) + 1     (2)
 

ซึ่งในทางในทางทฤษฎีแล้วทั้งสองรูปแบบต้องให้ค่าของฟังก์ชันที่เท่ากัน และให้ค่าเป็นศูนย์ที่ x = 1 และให้ค่าเป็นบวกในบริเวณรอบข้าง
 

ในการคำนวณเราสามารถเขียนสมการที่ (1) ได้ในรูป
 

f(x) = x^6 + 6*x^5 + 15*x^4 - 20*x^3 + 15*x^2 - 6*x + 1 (ขอเรียกว่ารูปแบบยกกำลัง) 
  

หรือ f(x) = x*x*x*x*x*x + 6*x*x*x*x*x + 15*x*x*x*x - 20*x*x*x + 15*x*x - 6*x + 1 (ขอเรียกว่ารูปแบบผลคูณ)
 

ส่วนสมการที่ (2) สามารถเขียนคำสั่งเพื่อการคำนวณได้ในรูป
 

f(x) = x*(x*(x*(x*(x*(x - 6) + 15) - 20) + 15) - 6) + 1 (ขอเรียกว่ารูปแบบวงเล็บ) 
  

ผมทำการคำนวณค่า f(x) ทั้ง 3 รูปแบบด้วยโปรแกรม spread sheet ของ OpenOffice 4.1.5 บนเครื่องคอมพิวเตอร์ 32 บิท ในช่วง x จาก 0.996 ถึง 1.004 โดยใช้รูปแบบการกำหนดค่า x ที่แตกต่างกันดังนี้

แบบที่ ๑ ทำการป้อนค่า x ทีละค่าเข้าไปในคอลัมน์ด้านซ้ายโดยตรง ผลที่ได้แสดงไว้ในตารางที่ ๑ และรูปที่ ๑
 

แบบที่ ๒ ป้อนค่า x = 0.996 เข้าไปในเซลล์ช่องบนสุด จากนั้นกำหนดให้ค่า x ของเซลล์ช่องที่อยู่ถ้ดลงมามีค่าเท่ากับค่า x ของเซลล์ช่องที่อยู่ข้างบนบวกด้วย 0.0001 ผลที่ได้แสดงไว้ในตารางที่ ๒ และรูปที่ ๒ และ
 

แบบที่ ๓ กำหนดค่า 9960 ให้เป็นจำนวนเต็ม (integer) เข้าไปในเซลล์ช่องบนสุด จากนั้นกำหนดให้ของเซลล์ช่องที่อยู่ถ้ดลงมามีค่าเท่ากับค่าของเซลล์ช่องที่อยู่ข้างบนบวกด้วย 1 (ไล่ลงมาจนถง 10004) ซึ่งจะทำให้ทุกค่านั้นเป็นเลขจำนวนเต็ม จากนั้นจึงนำเลขจำนวนเต็มที่ได้นั้นมาแปลงเป็นค่า x ด้วยการหารด้วย 10000 ผลที่ได้แสดงไว้ในตารางที่ ๓ และรูปที่ ๓
 

ลองพิจารณาผลการคำนวณที่นำมาแสดงให้ดูเอาเองก่อนนะครับ แล้วก็อย่าพึ่งตกใจนะครับถ้าเห็นว่าผลการคำนวณมันออกมาไมเหมือนกัน
 

ตารางที่ ๑ ผลการคำนวณเมื่อค่า x ในคอลัมน์ด้านซ้ายได้มาจากการป้อนตัวเลขโดยตรง

x	f(x) ในรูปยกกำลัง	f(x) ในรูปวงเล็บ	f(x) ในรูปผลคูณ
0.996	6.217248937900880E-15	5.218048215738240E-15	0.000000000000000E+00
0.9961	7.993605777301130E-15	4.329869796038110E-15	4.440892098500630E-15
0.9962	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9963	0.000000000000000E+00	4.107825191113080E-15	5.329070518200750E-15
0.9964	3.552713678800500E-15	4.662936703425660E-15	0.000000000000000E+00
0.9965	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	7.993605777301130E-15
0.9966	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9967	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	3.552713678800500E-15
0.9968	3.552713678800500E-15	0.000000000000000E+00	3.552713678800500E-15
0.9969	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.997	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9971	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	4.440892098500630E-15
0.9972	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	5.329070518200750E-15
0.9973	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	5.329070518200750E-15
0.9974	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	-5.329070518200750E-15
0.9975	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	-6.217248937900880E-15
0.9976	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9977	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9978	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9979	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	6.217248937900880E-15
0.998	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9981	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	-5.329070518200750E-15
0.9982	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9983	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9984	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9985	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	-4.440892098500630E-15
0.9986	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9987	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9988	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9989	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	-4.440892098500630E-15
0.999	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9991	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9992	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9993	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	3.552713678800500E-15
0.9994	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9995	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	3.552713678800500E-15
0.9996	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9997	3.552713678800500E-15	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9998	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	-4.440892098500630E-15
0.9999	3.552713678800500E-15	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0001	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0002	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	4.440892098500630E-15
1.0003	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	3.552713678800500E-15
1.0004	-5.329070518200750E-15	0.000000000000000E+00	5.329070518200750E-15
1.0005	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0006	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0007	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0008	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0009	-5.329070518200750E-15	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.001	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0011	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0012	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	-5.329070518200750E-15
1.0013	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0014	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0015	5.329070518200750E-15	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0016	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0017	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	6.217248937900880E-15
1.0018	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0019	3.552713678800500E-15	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.002	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0021	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0022	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	3.552713678800500E-15
1.0023	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0024	3.552713678800500E-15	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0025	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	6.217248937900880E-15
1.0026	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0027	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0028	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	3.552713678800500E-15
1.0029	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.003	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0031	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	5.329070518200750E-15
1.0032	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0033	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0034	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0035	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	3.552713678800500E-15
1.0036	6.217248937900880E-15	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0037	5.329070518200750E-15	0.000000000000000E+00	3.552713678800500E-15
1.0038	5.329070518200750E-15	4.329869796038110E-15	0.000000000000000E+00
1.0039	3.552713678800500E-15	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.004	6.217248937900880E-15	5.329070518200750E-15	6.217248937900880E-15

รูปที่ ๑ กราฟของข้อมูลในตารางที่ ๑

ตารางที่ ๒ ผลการคำนวณเมื่อค่า x ในคอลัมน์ด้านซ้ายได้มาจากการบวกตัวเลขที่อยู่ในเซลล์ด้านบนด้วย 0.0001

x	f(x) ในรูปยกกำลัง	f(x) ในรูปวงเล็บ	f(x) ในรูปผลคูณ
0.996	6.217248937900880E-15	5.218048215738240E-15	0.000000000000000E+00
0.9961	7.105427357601000E-15	0.000000000000000E+00	3.552713678800500E-15
0.9962	0.000000000000000E+00	5.662137425588300E-15	0.000000000000000E+00
0.9963	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9964	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	6.217248937900880E-15
0.9965	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	5.329070518200750E-15
0.9966	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9967	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9968	6.217248937900880E-15	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9969	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.997	3.552713678800500E-15	0.000000000000000E+00	3.552713678800500E-15
0.9971	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9972	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	4.440892098500630E-15
0.9973	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	3.552713678800500E-15
0.9974	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9975	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9976	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	-4.440892098500630E-15
0.9977	3.552713678800500E-15	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9978	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9979	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	3.552713678800500E-15
0.998	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9981	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9982	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9983	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9984	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9985	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9986	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	3.552713678800500E-15
0.9987	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9988	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9989	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.999	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	3.552713678800500E-15
0.9991	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9992	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9993	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9994	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9995	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9996	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	4.440892098500630E-15
0.9997	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	3.552713678800500E-15
0.9998	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9999	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	-7.993605777301130E-15
1.0001	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0002	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0003	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0004	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	4.440892098500630E-15
1.0005	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	3.552713678800500E-15
1.0006	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0007	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0008	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0009	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.001	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0011	3.552713678800500E-15	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0012	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	4.440892098500630E-15
1.0013	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0014	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0015	3.552713678800500E-15	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0016	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0017	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0018	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0019	3.552713678800500E-15	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.002	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	6.217248937900880E-15
1.0021	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0022	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0023	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0024	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0025	3.552713678800500E-15	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0026	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0027	3.552713678800500E-15	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0028	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0029	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	5.329070518200750E-15
1.003	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0031	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0032	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0033	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0034	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0035	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	3.552713678800500E-15
1.0036	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0037	7.105427357601000E-15	0.000000000000000E+00	8.881784197001250E-15
1.0038	5.329070518200750E-15	4.329869796038110E-15	7.105427357601000E-15
1.0039	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.004	0.000000000000000E+00	5.329070518200750E-15	0.000000000000000E+00

รูปที่ ๒ กราฟของข้อมูลในตารางที่ ๒

ตารางที่ ๓ ผลการคำนวณเมื่อค่า x ในคอลัมน์ด้านซ้ายได้มาจากการ 9960 ให้เป็นจำนวนเต็มก่อน จากนั้นจึงค่อยหารด้วย 10000 ส่วนค่า x ในช่องถัดลงมาก็ได้มาจากการนำค่า 9960 + 1 (คำนวณในรูปจำนวนเต็ม) แล้วจึงหารด้วย 10000 และทำอย่างนี้ลงมาเรื่อย ๆ

x	f(x) ในรูปยกกำลัง	f(x) ในรูปวงเล็บ	f(x) ในรูปผลคูณ
0.996	6.217248937900880E-15	5.218048215738240E-15	0.000000000000000E+00
0.9961	7.105427357601000E-15	0.000000000000000E+00	3.552713678800500E-15
0.9962	0.000000000000000E+00	5.662137425588300E-15	0.000000000000000E+00
0.9963	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9964	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	6.217248937900880E-15
0.9965	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	7.993605777301130E-15
0.9966	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9967	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	3.552713678800500E-15
0.9968	3.552713678800500E-15	0.000000000000000E+00	3.552713678800500E-15
0.9969	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.997	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9971	3.552713678800500E-15	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9972	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	3.552713678800500E-15
0.9973	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9974	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9975	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	-6.217248937900880E-15
0.9976	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9977	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9978	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9979	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	6.217248937900880E-15
0.998	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9981	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	-5.329070518200750E-15
0.9982	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9983	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9984	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9985	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	-4.440892098500630E-15
0.9986	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9987	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9988	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9989	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	-4.440892098500630E-15
0.999	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9991	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9992	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9993	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9994	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9995	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	3.552713678800500E-15
0.9996	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9997	3.552713678800500E-15	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
0.9998	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	-4.440892098500630E-15
0.9999	3.552713678800500E-15	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0001	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0002	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	4.440892098500630E-15
1.0003	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	3.552713678800500E-15
1.0004	-5.329070518200750E-15	0.000000000000000E+00	5.329070518200750E-15
1.0005	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0006	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0007	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0008	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0009	-5.329070518200750E-15	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.001	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0011	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0012	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	-5.329070518200750E-15
1.0013	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0014	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0015	5.329070518200750E-15	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0016	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0017	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	6.217248937900880E-15
1.0018	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0019	3.552713678800500E-15	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.002	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0021	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0022	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	3.552713678800500E-15
1.0023	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0024	3.552713678800500E-15	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0025	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	6.217248937900880E-15
1.0026	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0027	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0028	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	3.552713678800500E-15
1.0029	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.003	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0031	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	5.329070518200750E-15
1.0032	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0033	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0034	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0035	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00	3.552713678800500E-15
1.0036	6.217248937900880E-15	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.0037	5.329070518200750E-15	0.000000000000000E+00	3.552713678800500E-15
1.0038	5.329070518200750E-15	4.329869796038110E-15	0.000000000000000E+00
1.0039	3.552713678800500E-15	0.000000000000000E+00	0.000000000000000E+00
1.004	6.217248937900880E-15	5.329070518200750E-15	6.217248937900880E-15

รูปที่ ๓ กราฟของข้อมูลในตารางที่ ๓
 

สมมุติว่าในการคำนวณนั้นเราเก็บตัวเลขในรูปแบบ 0.dddd...ddd x 10^ab โดยมีจำนวนจุดทศนิยม (d) 16 ตำแหน่ง ถ้าเราเอาตัวเลขดังกล่าวสองจำนวนมาบวกเข้าด้วยกัน ผลลัพธ์ที่ได้ก็อาจยังเป็นเลขที่มีจุดทศนิยม 16 ตำแหน่งเช่นเดิม หรืออาจเป็นเลขที่มีจุดทศนิยม 17 ตำแหน่ง แต่ด้วยการที่เราเก็บจุดทศนิยมได้เพียงแค่ 16 ตำแหน่ง ดังนั้นในกรณีหลังนี้เราจำเป็นต้องมีการตัดจุดทศนิยมตำแหน่งสุดท้ายออกไป 1 ตำแหน่ง
 

แต่ถ้าเรานำเอาตัวเลขดังกล่าวสองจำนวนมาคูณกัน ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นเลขทศนิยม 32 ตำแหน่ง แต่ด้วยการที่เราเก็บจุดทศนิยมได้เพียงแค่ 16 ตำแหน่ง ดังนั้นในกรณีนี้เราจำเป็นต้องตัดจุดทศนิยม 16 ตำแหน่งท้ายออกไป ซึ่งถ้าเทียบกับการบวกแล้วจะเห็นได้ชัดว่าการคูณเพียงแค่ครั้งเดียวมีการปัดเศษ (ตัวที่ทำให้เกิดความคลาดเคลื่อนในการคำนวณ) มากกว่าการบวกมาก ดังนั้นถ้ามีการคูณมากครั้งเท่าใด ค่าสะสมของเศษที่ถูกปัดออกไปก็จะมีมากขึ้น โอกาสที่คำตอบที่ได้จะเพี้ยนออกไปจากคำตอบที่ถูกต้องก็จะมีมากขึ้นตามไปด้วย (อันนี้ยังไม่รวมถึงการที่การคูณใช้เวลาในการคำนวณที่นานกว่าการบวกด้วย) ด้วยเหตุนี้เวลาที่ทำการพิจารณาประสิทธิภาพของอัลกอริทึม เขาจึงมุ่งเน้นไปที่จำนวนครั้งที่ทำการคูณ เพราะมันส่งผลต่อเวลาที่ใช้ในการคำนวณและความคลาดเคลื่อนของผลการคำนวณที่ได้
 

ในตัวอย่างที่ยกมานี้บางคนอาจจะแย้งว่าความแตกต่างนั้นมีน้อยมาก เพียงแค่ที่ระดับ 10^-15 ซึ่งไม่น่าที่จะส่งผลอะไรในการนำตัวเลขไปใช้งาน แต่ตัวอย่างที่ยกมานี้แสดงให้เห็นถึงความคลาดเคลื่อนที่เกิดขึ้นจากการคำนวณค่าฟังก์ชันเพียงแค่แค่ครั้งเดียวเท่านั้น แต่ในงาน simulation นั้นมีจำนวนครั้งการคำนวณที่สูงกว่ามาก หรือในการแก้ปัญหาระบบสมการพีชคณิตที่เมทริกซ์มีสภาวะเลว (ill-conditioned) นั้น ความคลาดเคลื่อนเพียงเล็กน้อยแค่นี้ที่เกิดขึ้นในการคำนวณแต่ละครั้ง สามารถส่งผลกระทบที่มีนัยสำคัญมากต่อตำตอบที่คำนวณได้
 

และในปัญหาบางแบบเช่นการหาจุดที่กราฟตัดแกน x (root finding) หรือจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน (optimisation) เวลาที่เจอกับฟังก์ชันแบบนี้ (กราฟค่อนข้างจะเรียบแบน) จะพบว่าค่าตำแหน่ง x ที่เป็นคำตอบนั้นมีได้หลายค่าและอยู่ในช่วงกว้าง โดยที่ค่า f(x) นั้นอยู่ในระดับเดียวกัน ทำให้เกิดปัญหาได้ว่าค่า x ที่ให้ค่า f(x) ต่ำสุดที่ได้มานั้นเป็นค่าที่ถูกต้องหรือไม่ หรือเป็นเพราะผลจากการปัดเศษ ซึ่งสำหรับคนที่เขียนอัลกอริทึมคำนวณเองสามารถทดสอบได้ด้วยการเปลี่ยนจุดเริ่มต้นการหาคำนวณให้แตกต่างออกไป แล้วดูว่าคำตอบที่คำนวณได้นั้นกลับมายังค่าเดิมหรือไม่ จะช่วยบ่งบอกถึงปัญหาดังกล่าวได้

ตารางที่ ๔ และรูปที่ ๔ เป็นการคำนวณค่าฟังก์ชันพหุนามที่เขียนในรูปคำสั่งยกกำลัง

f(x) = x⁶ - 6x⁵ + 15x⁴ - 20x³ + 15x² - 6x     (3)

สมการที่ (3) ก็คือสมการที่ (1) ที่ถูกตัดพจน์ + 1 ตัวท้ายออกไป แล้วนำมาคำนวณใน 3 รูปแบบเช่นสมการที่ (1) ดังนี้ (ในที่นี้ค่า x ในคอลัมน์ด้านซ้ายได้มาจากการป้อนค่า x เข้าไปโดยตรง)
 

f(x) = x^6 + 6*x^5 + 15*x^4 - 20*x^3 + 15*x^2 - 6*x (รูปแบบยกกำลัง) 
  

f(x) = x*x*x*x*x*x + 6*x*x*x*x*x + 15*x*x*x*x - 20*x*x*x + 15*x*x - 6*x (รูปแบบผลคูณ)
 

และ f(x) = x*(x*(x*(x*(x*(x - 6) + 15) - 20) + 15) - 6) (รูปแบบวงเล็บ) 
  

ผลการคำนวณด้วยรูปแบบวงเล็บที่ค่า x = 0.998 พบว่าค่าตัวเลขออกมาเป็น "-10" แต่เมื่อนำข้อมูลไปเขียนกราฟกลับพบว่าค่า f(x) ที่ตำแหน่งดังกล่าวมีค่าเป็น "0" การตรวจสอบด้วยการเอาค่าในช่องดังกล่าวมาบวก 1 เข้าไปก็พบว่าได้ค่าออกมาเป็น "0" นั่นแสดงว่าตัวเลขที่แสดงออกมาหน้าจอและในหน่วยความจำนั้นเป็นคนละตัวกัน การทดสอบเพิ่มเติมด้วยการลดจำนวนจุดทศนิยมที่ให้แสดงผลพบว่าเมื่อลดจำนวนจุดทศนิยมลงถึงระดับหนึ่ง ตัวเลขที่แสดงจะกลับมาเป็น "-1" และเมื่อนำคำสั่งเดียวกันนี้ไปคำนวณด้วยโปรแกรม Excel ก็พบว่าค่าที่ได้คือ "-1" นั่นแสดงว่าความผิดปรกติตรงนี้เกิดขึ้นในส่วนของการแสดงผลของตัวโปรแกรม OpenOffice 4.1.5 ที่ใช้คำนวณ ก็เลยต้องของเอาเหตุการณ์นี้มาบันทึกเอาไว้ตรงนี้หน่อยเพื่อเป็นบทเรียนว่า อย่างพึงแต่อ่านค่าตัวเลขเพียงอย่างเดียว ให้พิจารณาดูด้วยว่าตัวเลขที่คำนวณได้นั้นมันผิดปรกติหรือไม่
 

ตารางที่ ๔ คำตอบของฟังก์ชัน f(x) = x⁶ - 6x⁵ + 15x⁴ - 20x³ + 15x² - 6x ที่คำนวณด้วยรูปแบบต่าง ๆ พึงสังเกตุค่า f(x) ในรูปวงเล็บที่ค่า x = 0.998

x	f(x) ในรูปยกกำลัง	f(x) ในรูปวงเล็บ	f(x) ในรูปผลคูณ
0.996	-9.999999999999940E-01	-9.999999999999950E-01	-9.999999999999990E-01
0.9961	-9.999999999999920E-01	-9.999999999999960E-01	-9.999999999999960E-01
0.9962	-1.000000000000000E+00	-9.999999999999980E-01	-9.999999999999990E-01
0.9963	-9.999999999999980E-01	-9.999999999999960E-01	-9.999999999999950E-01
0.9964	-9.999999999999960E-01	-9.999999999999950E-01	-1.000000000000000E+00
0.9965	-9.999999999999970E-01	-9.999999999999970E-01	-9.999999999999920E-01
0.9966	-1.000000000000000E+00	-9.999999999999990E-01	-9.999999999999990E-01
0.9967	-1.000000000000000E+00	-9.999999999999980E-01	-9.999999999999960E-01
0.9968	-9.999999999999960E-01	-9.999999999999980E-01	-9.999999999999960E-01
0.9969	-9.999999999999990E-01	-1.000000000000000E+00	-9.999999999999970E-01
0.997	-9.999999999999970E-01	-1.000000000000000E+00	-1.000000000000000E+00
0.9971	-9.999999999999970E-01	-1.000000000000000E+00	-9.999999999999960E-01
0.9972	-9.999999999999980E-01	-9.999999999999990E-01	-9.999999999999950E-01
0.9973	-9.999999999999980E-01	-1.000000000000000E+00	-9.999999999999950E-01
0.9974	-1.000000000000000E+00	-1.000000000000000E+00	-1.000000000000010E+00
0.9975	-1.000000000000000E+00	-1.000000000000000E+00	-1.000000000000010E+00
0.9976	-9.999999999999980E-01	-1.000000000000000E+00	-9.999999999999980E-01
0.9977	-1.000000000000000E+00	-9.999999999999990E-01	-9.999999999999980E-01
0.9978	-9.999999999999980E-01	-1.000000000000000E+00	-1.000000000000000E+00
0.9979	-1.000000000000000E+00	-9.999999999999990E-01	-9.999999999999940E-01
0.998	-9.999999999999980E-01	-1.000000000000000E+00	-9.999999999999980E-01
0.9981	-9.999999999999980E-01	-9.999999999999990E-01	-1.000000000000010E+00
0.9982	-9.999999999999980E-01	-1.000000000000000E+00	-9.999999999999980E-01
0.9983	-1.000000000000000E+00	-1.000000000000000E+00	-1.000000000000000E+00
0.9984	-1.000000000000000E+00	-1.000000000000000E+00	-9.999999999999970E-01
0.9985	-1.000000000000000E+00	-9.999999999999990E-01	-1.000000000000000E+00
0.9986	-9.999999999999980E-01	-1.000000000000000E+00	-1.000000000000000E+00
0.9987	-1.000000000000000E+00	-9.999999999999990E-01	-9.999999999999980E-01
0.9988	-1.000000000000000E+00	-1.000000000000000E+00	-9.999999999999990E-01
0.9989	-1.000000000000000E+00	-9.999999999999970E-01	-1.000000000000000E+00
0.999	-1.000000000000000E+00	-1.000000000000000E+00	-9.999999999999980E-01
0.9991	-9.999999999999980E-01	-1.000000000000000E+00	-1.000000000000000E+00
0.9992	-1.000000000000000E+00	-1.000000000000000E+00	-1.000000000000000E+00
0.9993	-1.000000000000000E+00	-1.000000000000000E+00	-9.999999999999960E-01
0.9994	-9.999999999999990E-01	-1.000000000000000E+00	-9.999999999999970E-01
0.9995	-9.999999999999980E-01	-9.999999999999980E-01	-9.999999999999960E-01
0.9996	-1.000000000000000E+00	-1.000000000000000E+00	-1.000000000000000E+00
0.9997	-9.999999999999960E-01	-1.000000000000000E+00	-1.000000000000000E+00
0.9998	-1.000000000000000E+00	-10.000000000000000E+00	-1.000000000000000E+00
0.9999	-9.999999999999960E-01	-1.000000000000000E+00	-1.000000000000000E+00
1	-1.000000000000000E+00	-1.000000000000000E+00	-1.000000000000000E+00
1.0001	-1.000000000000000E+00	-1.000000000000000E+00	-1.000000000000000E+00
1.0002	-1.000000000000000E+00	-1.000000000000000E+00	-9.999999999999960E-01
1.0003	-1.000000000000000E+00	-1.000000000000000E+00	-9.999999999999960E-01
1.0004	-1.000000000000010E+00	-1.000000000000000E+00	-9.999999999999950E-01
1.0005	-9.999999999999980E-01	-9.999999999999990E-01	-1.000000000000000E+00
1.0006	-9.999999999999970E-01	-1.000000000000000E+00	-1.000000000000000E+00
1.0007	-1.000000000000000E+00	-9.999999999999990E-01	-1.000000000000000E+00
1.0008	-9.999999999999980E-01	-9.999999999999990E-01	-1.000000000000000E+00
1.0009	-1.000000000000010E+00	-1.000000000000000E+00	-9.999999999999980E-01
1.001	-1.000000000000000E+00	-1.000000000000000E+00	-9.999999999999970E-01
1.0011	-1.000000000000000E+00	-9.999999999999990E-01	-1.000000000000000E+00
1.0012	-1.000000000000000E+00	-1.000000000000000E+00	-1.000000000000010E+00
1.0013	-9.999999999999990E-01	-1.000000000000000E+00	-1.000000000000000E+00
1.0014	-9.999999999999980E-01	-9.999999999999980E-01	-1.000000000000000E+00
1.0015	-9.999999999999950E-01	-1.000000000000000E+00	-1.000000000000000E+00
1.0016	-1.000000000000000E+00	-1.000000000000000E+00	-1.000000000000000E+00
1.0017	-9.999999999999990E-01	-1.000000000000000E+00	-9.999999999999940E-01
1.0018	-9.999999999999980E-01	-9.999999999999980E-01	-1.000000000000000E+00
1.0019	-9.999999999999960E-01	-1.000000000000000E+00	-1.000000000000000E+00
1.002	-9.999999999999980E-01	-1.000000000000000E+00	-1.000000000000000E+00
1.0021	-9.999999999999990E-01	-9.999999999999980E-01	-9.999999999999990E-01
1.0022	-1.000000000000000E+00	-9.999999999999990E-01	-9.999999999999960E-01
1.0023	-1.000000000000000E+00	-9.999999999999980E-01	-1.000000000000000E+00
1.0024	-9.999999999999960E-01	-9.999999999999990E-01	-1.000000000000000E+00
1.0025	-1.000000000000000E+00	-9.999999999999990E-01	-9.999999999999940E-01
1.0026	-1.000000000000000E+00	-9.999999999999990E-01	-9.999999999999980E-01
1.0027	-1.000000000000000E+00	-1.000000000000000E+00	-1.000000000000000E+00
1.0028	-1.000000000000000E+00	-1.000000000000000E+00	-9.999999999999960E-01
1.0029	-1.000000000000000E+00	-9.999999999999980E-01	-1.000000000000000E+00
1.003	-1.000000000000000E+00	-9.999999999999980E-01	-1.000000000000000E+00
1.0031	-1.000000000000000E+00	-1.000000000000000E+00	-9.999999999999950E-01
1.0032	-9.999999999999990E-01	-1.000000000000000E+00	-9.999999999999990E-01
1.0033	-1.000000000000000E+00	-9.999999999999970E-01	-9.999999999999980E-01
1.0034	-9.999999999999980E-01	-9.999999999999980E-01	-1.000000000000000E+00
1.0035	-1.000000000000000E+00	-9.999999999999980E-01	-9.999999999999960E-01
1.0036	-9.999999999999940E-01	-9.999999999999980E-01	-1.000000000000000E+00
1.0037	-9.999999999999950E-01	-9.999999999999980E-01	-9.999999999999960E-01
1.0038	-9.999999999999950E-01	-9.999999999999960E-01	-9.999999999999980E-01
1.0039	-9.999999999999960E-01	-9.999999999999980E-01	-9.999999999999980E-01
1.004	-9.999999999999940E-01	-9.999999999999950E-01	-9.999999999999940E-01

รูปที่ ๔ กราฟของข้อมูลในตารางที่ ๔ จะเห็นว่าค่า f(x) ที่เครื่องนำมาเขียนกราฟกับค่าที่ปรากฏในตารางนั้นมีความแตกต่างกันอยู่