อย่าให้ค่า R-squared (Coefficient of Determination) หลอกคุณได้ MO Memoir : Monday 11 November 2562

"คุณพอจะอธิบายได้ไหมว่าปฏิกิริยานี้มันเป็นไปตามกลไก Langmuir-Hinshelwood mechanism ได้อย่างไร"

"พฤติกรรมของสมการ Langmuir-Hinshelwood mechanism เป็นอย่างไร คุณพอทราบไหม"

และยังมีอีกหลายคำถามที่ผมถามนิสิตปริญญาเอกผู้หนึ่งในระหว่างวิชาสัมมนาป.เอก เมื่อนิสิตผู้นั้นนำเสนอสมการ (ที่นำมาจาก paper ตีพิมพ์) ที่เขาคิดจะนำมาใช้ในการสร้างแบบจำลองของเขา แต่ด้วยการที่เขาไม่เข้าใจคำถามผม (คือดูเหมือนเขาไม่รู้ว่าคำว่า "Langmuir-Hinshelwood" ที่บทความที่เขาอ้างอิงนั้นกล่าวถึงคืออะไร) ทำให้รู้สึกว่าเขามีปัญหาเรื่องความเข้าใจพื้นฐานเกี่ยวกับกลไกการเกิดปฏิกิริยาเคมีบนพื้นผิวตัวเร่งปฏิกิริยาวิวิธพันธุ์ ก็เลยแนะนำให้ศึกษาพื้นฐานเพิ่มเติม

ปฏิกิริยาการออกซิไดซ์ naphthalene และ o-xyleneไปเป็น phthalic anhydride มีการศึกษากลไกการเกิดปฏิกิริยามานานแล้ว (รูปที่ ๑) ในปีค.ศ. ๑๙๕๔ (พ.ศ. ๒๔๙๗) Mars และ van Krevelen ได้นำเสนอแบบจำลองที่ต่อมาเป็นที่รู้จักกันในนาม "REDOX mechanism" ว่าปฏิกิริยาดังกล่าวประกอบด้วยขั้นตอนสองขั้นตอน โดยขั้นตอนแรกเป็นการที่ไฮโดรคาร์บอนนั้นไปดึงเอา lattice oxygen ออกจากพื้นผิวตัวเร่งปฏิกิริยา (ที่เป็นสารประกอบโลหะออกไซด์) ทำให้ไฮโดรคาร์บอนเปลี่ยนไปเป็นผลิตภัณฑ์ ส่วนตัวเร่งปฏิกิริยานั้นถูกรีดิวซ์ จากนั้นโมเลกุลออกซิเจนจากเฟสแก๊สจะทำการออกซิไดซ์ตัวเร่งปฏิกิริยาที่ถูกรีดิวซ์ไปนั้นให้กลับคืนสู่เลขออกซิเดชันเดิม กล่าวอีกนัยหนึ่งก็คือแม้ว่าโดยภาพรวมนั้นเป็นปฏิกิริยาระหว่างไฮโดรคาร์บอนกับออกซิเจนที่ป้อนเข้าไปในระบบ แต่ในความเป็นจริงนั้นสารทั้งสองไม่ได้ทำปฏิกิริยากันโดยตรง

  

รูปที่ ๑ บทความของ Mars และ van Krevelen ที่เป็นต้นกำเนิด REDOX mechanism

แบบจำลองของ Mars และ van Krevelen นี้ได้รับการทดลองยืนยันจากหลายกลุ่มวิจัย ไม่ว่าจะเป็นการทดลองในระบบที่ไม่มีการป้อนออกซิเจน หรือการใช้ออกซิเจนไอโซโทปติดตามการเกิดปฏิกิริยา จากรูปแบบสมการทางคณิตศาสตร์ของแบบจำลองนี้ (เนื่องจากปฏิกิริยามันจะเกิดในสภาวะที่มีออกซิเจนมากเกินพออยู่มาก เพื่อหลีกเลี่ยงการเกิด explosive mixture) เมื่อเพิ่มความเข้มข้นไฮโดรคาร์บอนขึ้นเรื่อย ๆ อัตราการเกิดปฏิกิริยาจะเพิ่มเร็วในช่วงแรก จากนั้นจะเพิ่มด้วยอัตราที่ช้าลงและเข้าสู่ "ค่าคงที่ค่าหนึ่ง" ซึ่งเป็นพฤติกรรมแบบเดียวกันกับ Langmuir mechanism

  

รูปที่ ๒ บทความของ Calderbank และคณะที่ได้นำเสนอเส้นทางการเกิดปฏิกิริยาและค่าคงที่ต่าง ๆ สำหรับแต่ละเส้นทาง โดยอิงจากแบบจำลอง REDOX mechanism

ขั้นตอนการเปลี่ยนไฮโดรคาร์บอนไปเป็น phthalic anhydride นั้นประกอบด้วยขั้นตอนย่อยหลายขั้นตอน ดังนั้นกว่าที่จะหาค่า kinetic parameter ในแต่ละขั้นตอนได้ ก็ต้องรอกันกว่า ๒๐ ปี (เพราะต้องหาให้ได้ก่อนว่าปฏิกิริยาน่าจะเกิดผ่านเส้นทางไหนบ้าง) แบบจำลองและเส้นทางการเกิดปฏิกิริยาของการออกซิไดซ์ o-xylene ไปเป็น phtahlic anhydride แบบจำลองหนึ่งที่มีการนำมาใช้กันแพร่หลายในหลายงานวิจัยเห็นจะได้แก่ของ Calderbank และคณะ (ที่มีการนำเสนอในปีค.ศ. ๑๙๗๔ (พ.ศ ๒๕๑๗) ก่อนจะมีการตีพิมพ์เป็นบทความในวารสารในปีค.ศ. ๑๙๗๗ (พ.ศ ๒๕๒๐) - รูปที่ ๒)

  

แบบจำลองของ Calderbank และคณะใช้การได้ดีในกรณีที่ความเข้นข้นของไฮโดรคาร์บอนนั้นไม่สูงมาก แต่เมื่อเพิ่มความเข้มข้นไฮโดรคาร์บอนให้สูงมากขึ้นกลับพบว่า อัตราการเกิดปฏิกิริยานั้นมีแนวโน้ม "ลดต่ำลง" ซึ่งพฤติกรรมดังกล่าวขัดกับสิ่งที่ REDOX mechanism ทำนายไว้ ดังนั้นในปีค.ศ. ๑๙๘๕ (พ.ศ. ๒๕๒๘) Skzypek และคณะ (รูปที่ ๓) จึงได้นำเสนอแบบจำลองการเกิดปฏิกิริยาใหม่ (โดยมีเส้นทางการเกิดปฏิกิริยาทำนองเดียวกันกับของ Calderbank และคณะ) โดยอิงจากกลไกการเกิดปฏิกิริยาแบบ Langmuir-Hinshelwood mechanism กล่าวคือปฏิกิริยานั้นเกิดขึ้นโดยตรงระหว่างไฮโดรคาร์บอนที่พื้นผิวดูดซับเอาและโมเลกุลออกซิเจนที่พื้นผิวดูดซับเอาไว้ โดยไม่เกี่ยวข้องกับ lattice oxygen ของตัวเร่งปฏิกิริยา และได้รายงานว่าแบบจำลองที่อิงจากกลไกการเกิดปฏิกิริยาแบบ Langmuir-Hinshelwood mechanism นี้ไม่เพียงแต่เข้ากับข้อมูลผลการทดลองได้ดีกว่าแบบจำลองของ Calderbank และคณะ แต่ยังสามารถทำนายการลดลงของอัตราการเกิดปฏิกิริยาเมื่อความเข้มข้นไฮโดรคาร์บอนเพิ่มสูงขึ้นได้ด้วย

แต่แบบจำลองของ Skzypek และคณะ กลับไม่ได้รับความนิยม

เมื่อเราสร้างแบบจำลองสมการคณิตศาสตร์เพื่อหาความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปร x และ y แล้วเราอยากรู้ว่าแบบจำลองนั้นใช้งานได้ดีเพียงใด สิ่งที่ทำกันก็คือการหาผลรวมระยะห่างระหว่างข้อมูลที่ได้จากการวัดจริงกับค่าที่แบบจำลองทำนาย ซึ่งมีการนำเสนอกันในรูป Coefficent of Determination หรือค่า R² (R-squared) โดยค่า R² นี้จะอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 แบบจำลองใดให้ค่า R² เท่ากับ 1 ก็หมายความว่าแบบจำนองของเรานั้นทำนายค่าได้อย่างถูกต้องโดยไม่มีความคลาดเคลื่อน และแบบจำลองใดที่ให้ค่า R² ต่ำกว่าก็แสดงว่าเป็นแบบจำลองที่ให้การทำนายค่าที่มีความคลาดเคลื่อนสูงขึ้น
  

ทีนี้สมมุติว่าเรามีจุดข้อมูลอยู่ 3 จุด และมีการนำเสนอสมการความสัมพันธ์ในรูปของสมการฟังก์ชันพหุนามกำลังสองในรูป y = a₀ + a₁x + a₂x² และฟังก์ชันสมการเลขชี้กำลังในรูป y = ae^(b/x) และเมื่อนำเอาสมการทั้งสองไปทดสอบก็จะพบว่าฟังก์ชันพหุนามกำลังสองให้ค่า R² = 1 (ทำนายค่าได้ถูกต้องทุกจุด) ในขณะที่ฟังก์ชันเลขชี้กำลังนั้นให้การทำนายที่คลาดเคลื่อนทุกจุด (R² < 1) ซึ่งถ้าว่ากันตามค่า ที่ได้ เราก็จะบอกว่าฟังก์ชันที่เหมาะสมกับข้อมูลที่มีคือฟังก์ชันพหุนามกำลังสอง

   

รูปที่ ๓ บทความของ Skrzypek และคณะ ที่หาค่าพารามิเตอร์การเกิดปฏิกิริยาของเส้นทางต่าง ๆ โดยอิงจากแบบจำลอง Langmuir-Hinshelwood

แต่ถ้าหากข้อมูลที่มีนั้นเป็นความสัมพันธ์ระหว่างอุณหภูมิ (ตัวแปร x) กับอัตราการเกิดปฏิกิริยา (ตัวแปร y) ข้อสรุปที่ได้จะกลับกัน คือฟังก์ชันที่เหมาะสมคือฟังก์ชันเลขชี้กำลัง เพราะเป็นที่ทราบกันทั่วไปว่าความสัมพันธ์ระหว่างอุณหภูมิและอัตราการเกิดปฏิกิริยามีความสัมพันธ์ในรูปแบบดังกล่าว ดังนั้นแม้ว่าฟังก์ชันชี้กำลังนั้นจะให้ค่า R² ที่ต่ำกว่าในช่วงข้อมูลที่มีอยู่ แต่มันสามารถนำไปใช้งานในช่วงนอกเหนือช่วงข้อมูลที่มีอยู่ได้ ในขณะที่สมการฟังก์ชันพหุนามกำลังสองนั้นแม้ว่าจะให้ค่า R² ที่สูงถึง 1 ในช่วงข้อมูลที่มีอยู่ แต่ไม่ควรนำไปใช้นอกช่วงข้อมูลที่มี (คือถ้าจะใช้ประมาณค่า y ณ จุด x อื่นในช่วงข้อมูลที่มีอยู่ก็ยังยอมรับได้) เพราะพฤติกรรมของฟังก์ชันนั้นแตกต่างกันแบบคนละเรื่องเลย

จุดแข็งของ REDOX mechanism นั้นอยู่ตรงที่มันมีผลการทดลองการวิเคราะห์ตัวเร่งปฏิกิริยาและการติดตามการเกิดปฏิกิริยาว่ามันเกิดขึ้นตามนั้นจริง ดังนั้นการอธิบายว่าทำไมผลการทดลองจึงให้ค่าการเกิดปฏิกิริยาที่ลดต่ำลงเมื่อเพิ่มความเข้มข้นไฮโดรคาร์บอนให้สูงขึ้น ซึ่งตรงจุดนี้ก็มีการค้นพบว่าที่ความเข้มข้นไฮโดรคาร์บอนสูงขึ้นนั้นมันมีอีกปฏิกิริยาหนึ่งเกิดแทรกขึ้นมา นั่นคือการเกิด coking ที่ทำให้ตัวเร่งปฏิกิริยาเสื่อมสภาพ ก็เลยทำให้เห็นอัตราการเกิดปฏิกิริยาลดลง

  

กล่าวคือในสภาวะที่มีความเข้มข้นไฮโดรคาร์บอนต่ำนั้น ออกซิเจนที่มีอยู่มากในเฟสแก๊สสามารถกำจัด coke ที่เกิดขึ้นออกไปได้ทันเวลา แต่เมื่อความเข้มข้นไฮโดรคาร์บอนสูงขึ้น ตัวเร่งปฏิกิริยาไม่สามารถกำจัด coke ออกไปได้ทัน ทำให้เกิดการสะสมของ coke (ตัวเร่งปฏิกิริยากลุ่มนี้เป็นแบบ selective oxidation คือไม่ต้องการให้เกิดการออกซิไดซ์สารอินทรีย์ไปเป็น CO₂ เพราะจะทำให้สูญเสียสารตั้งต้นและผลิตภัณฑ์ แต่ถึงกระนั้นมันก็ยังมีความสามารถนี้อยู่บางส่วน แต่ไม่มาก) ที่ไม่เห็นความว่องไวในการทำปฏิกิริยาลดต่ำลงตลอดเวลาก็เพราะมันมีสมดุลระหว่างอัตราการเกิดกับอัตราการทำลายอยู่

   

ปฏิกิริยาที่นิสิตปริญญาเอกผู้นั้นนำเสนอเป็นปฏิกิริยา dehydrogenation ในเฟสแก๊สที่ผันกลับได้ที่มีสารตั้งต้นเพียงแค่โมเลกุลเดียว (A <--> B + C) โดยเขาจะเลือกใช้สมการรูปแบบการเกิดปฏิกิริยาของบทความหนึ่งที่กล่าวว่ากลไกการเกิดเป็นแบบ Langmuir-Hinshenwood mechanism นี่ก็เลยเป็นที่มาของคำถามที่ผมถามเขา ที่เขาเลือกบทความนี้เพราะเขาเห็นว่าบทความกล่าวว่าแบบจำลองที่บทความนำเสนอนั้นให้ค่า R² เข้าใกล้ 1 แต่ผมก็ได้เตือนเขาไปว่า "ก่อนที่จะดูว่าแบบจำลองนั้นเข้ากับผลการทดลองได้ดีแค่ไหน ควรที่จะพิจารณาก่อนว่ามันอิงอยู่บนพื้นฐานความเป็นจริงที่เกิดขึ้นหรือเปล่า" เพราะรูปแบบสมการที่อิงจากพื้นฐานความเป็นจริงที่ไม่ถูกต้องนั้น แม้ว่ามันจะเข้าได้ดีกับข้อมูลในช่วงหนึ่ง แต่มันไม่ควรที่จะนำไปใช้ในการทำนายสิ่งที่อยู่นอกช่วงข้อมูลที่นำมาสร้างสมการ

<-->   

ดังเช่นตัวอย่างที่แสดงในรูปที่ ๔ ข้างล่าง ที่ในบริเวณกรอบสี่เหลี่ยมสีเขียวนั้นสมการกำลังสอง (เส้นสีแดง) อาจประมาณค่าความสัมพันธ์ระหว่างอุณหภูมิกับอัตราการเกิดปฏิกิริยาได้ดี แต่พฤติกรรมของฟังก์ชันสมการกำลังสองนอกช่วงดังกล่าวไม่เข้ากับความเป็นจริง เพราะมันจะทำนายว่าอัตราการเกิดปฏิกิริยาจะเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วขึ้นเรื่อย ๆ เมื่ออุณหภูมิการทำปฏิกิริยาสูงขึ้น หรืออัตราการเกิดปฏิกิริยาจะเพิ่มขึ้นได้อีกเมื่อลดอุณหภูมิการทำปฏิกิริยา ซึ่งพฤติกรรมเช่นนี้ไม่ตรงกับสิ่งที่พบเห็นกันทั่วไป (เส้นสีน้ำเงิน)

   

รูปที่ ๔ ความสัมพันธ์ระหว่างอุณหภูมิกับอัตราการเกิดปฏิกิริยา การใช้ฟังก์ชันที่ไม่ถูกต้องเช่นสมการกำลังสอง (เส้นสีแดง) แม้ว่าจะทำนายค่าอัตราการเกิดปฏิกิริยาได้ดีในช่วงกรอบสีเขียว แต่จะทำนายพฤติกรรมผิดไปเมื่อนำไปใช้ในการทำนายค่าช่วงอุณหภูมิที่อยู่นอกช่วงข้อมูลที่นำมาใช้สร้างสมการได้ ที่พฤติกรรมจะเป็นไปตามฟังก์ชัน exp(-Ea/RT) (เส้นสีน้ำเงิน)

หมายเหตุ : เรื่องเกี่ยวกับค่า R² ที่หลอกตาได้นี้เคยเล่าไว้บ้างแล้วใน Memoir

ปีที่ ๒ ฉบับที่ ๖๓ วันอาทิตย์ที่ ๔ ตุลาคม ๒๕๕๒ เรื่อง "ตัวเลขมันสวย แต่เชื่อไม่ได้"

ปีที่ ๘ ฉบับที่ ๑๐๗๖ วันพฤหัสบดีที่ ๑๒ พฤศจิกายน ๒๕๕๘ เรื่อง "ปฏิกิริยาอันดับ ๑ หรือปฏิกิริยาอันดับ ๒"