การคำนวณเชิงตัวเลข (๓๘) การแก้สมการอนุพันธ์ด้วยฟังก์ชันพหุนาม (๑๓) MO Memoir : Monday 27 April 2563

จากสมการสำหรับคำนวณหา orthogonal function ในช่วง [0, 1] สำหรับฟังก์ชันพนุนามที่เป็นฟังก์ชันคู่ข้างล่าง  .....

ดาวน์โหลดไฟล์ pdf ฉบับเต็มได้ที่นี่ 

 

เมื่อพิจารณาแยกตามช่วงอายุ MO Memoir : Thursday 23 April 2563

สิบกว่าปีที่แล้วผมมีโอกาสเดินทางไปเยอรมัน เพื่อไปเยี่ยมนิสิตปริญญาเอกคนหนึ่ง (และคนเดียว) ของผมที่เขาไปทำวิจัยที่นั่น ระหว่างช่วงหนึ่งของการสนทนาเขาเล่าให้ฟังว่า วันหนึ่งมีคนถามเขาในวงสนทนาว่า เมื่อเกษียณอายุแล้วจะไปอยู่ไหน เขาก็ตอบว่าก็คงอยู่บ้านตามเดิม (กับลูกหลาน - ถ้ามี) ก็ทำให้ผู้ร่วมสนทนาผู้อื่นแปลกใจ ว่าทำไมยังอยู่บ้านอีก ไม่ไปอยู่ตาม Nursing home ซึ่งถ้าจะแปลเป็นไทยก็คงเป็นสถานพยาบาลผู้ป่วยและผู้สูงอายุระยะยาว แต่ในทางกลับกันเขาก็งงเหมือนกันว่าแล้วทำไมไม่อยู่บ้าน ต้องไปอยู่ตาม Nursing home

  

รูปแบบการใช้ชีวิตของแต่ละสังคมแตกต่างกัน ทำให้ความสัมพันธ์ระหว่างคนต่างรุ่นของแต่ละสังคมนั้นแตกต่างกันไปด้วย กลุ่มคนที่ไม่ค่อยปรากฏเป็นข่าวหรือจะเรียกว่ามีปากเสียงออกทางสื่อมวลชนน้อยที่สุดเห็นจะได้แก่กลุ่มเด็กและกลุ่มผู้สูงวัย เวลาที่เกิดเหตุการณ์สำคัญอะไรขึ้นมา คนกลุ่มนี้ก็มักจะเป็นกลุ่มคนที่มักถูกลืม ถูกละเลย หรือจงใจไม่กล่าวถึง จากทั้งสื่อมวลชนและผู้ที่ต้องรับผิดชอบเหตุการณ์

ตัวอย่างเช่นสถานการณ์โรคระบาดจากไวรัส COVID-19 ที่เกิดขึ้นทั่วโลกในขณะนี้ ที่มีทั้งเสียงเรียกร้องให้ปิดเมืองและให้เปิดเมือง ข่าวสารตามสื่อหลักต่าง ๆ เต็มไปด้วย "จำนวนรวม" ของผู้ติดเชื้อและผู้เสียชีวิต แต่ในวันนี้เราจะมาลองดูข้อมูลแยกตามช่วงอายุ เผื่อว่าจะทำให้เห็นภาพเหตุการณ์ที่กำลังเกิดขึ้นอยู่ จากมุมมองอื่นดูบ้าง

  

รูปที่ ๑ จำนวนผู้ป่วยจากไวรัส COVID-19 ของประเทศสวีเดน 

  

แหล่งที่มาของรูปต่าง ๆ อยู่ท้ายบทความนี้ ข้อมูลเหล่านี้มีการเปลี่ยนแปลงจำนวนไปทุกวัน ดังนั้นถ้าเปิดเข้าไปดูแล้วมันไม่เหมือนกับที่ผมเอามาก็ไม่ต้องแปลกใจ (ผมดึงข้อมูลมาเมื่อเช้าวันนี้) 

    

เริ่มแรกประเดิมที่ประเทศสวีเดนก่อน ที่มีคนชื่นชมว่าสามารถควบคุมการแพร่ระบาดได้ดีโดยอาศัยความร่วมมือของประชาชน โดยไม่จำเป็นต้องมีการปิดเมืองหรือร้านค้าต่าง ๆ รูปที่ ๑ เป็นจำนวนผู้ติดเชื้อแยกตามกลุ่มอายุของประเทศสวีเดน ส่วนรูปที่ ๒ เป็นจำนวนผู้เสียชีวิตแยกตามกลุ่มอายุเช่นกัน ถ้าเราพิจารณาใหม่เป็นสองกลุ่ม คือกลุ่มที่อายุน้อยกว่า ๖๐ ปีหรือกลุ่มที่ยังอยู่ในวัยทำงานซึ่งจัดเป็นกลุ่มคนเสียภาษีให้รัฐ กับกลุ่มคนที่อายุตั้งแต่ ๖๐ ปีขึ้นไปที่เป็นผู้เกษียณแล้วซึ่งเป็นกลุ่มคนผู้รับสวัสดิการจากรัฐ (ซึ่งเขาก็ควรมีสิทธิ เพราะก่อนหน้านี้เขาก็ทำงานเสียภาษีเพื่อให้คนที่เกิดทีหลังเขานั้นได้ใช้สิทธิประโยชน์หลายอย่างจากเงินภาษีที่เขาเสีย) จะเห็นว่าในส่วนของจำนวนผู้ติดเชื้อนั้น เป็นส่วนของคนกลุ่มอายุต่ำกว่า ๖๐ ประมาณ 48.6% และกลุ่มคนอายุตั้งแต่ ๖๐ ขึ้นไปประมาณ 51.4% แต่ถ้ามาดูสัดส่วนของผู้เสียชีวิตจะเห็นว่า จากจำนวนผู้เสียชีวิตทั้งหมด เป็นคนในกลุ่มอายุตั้งแต่ ๖๐ ขึ้นไปถึง 95% ในขณะที่คนอายุต่ำกว่า ๖๐ ลงมามีสัดส่วนเพียงแค่ 5% เท่านั้น

  

รูปที่ ๒ จำนวนผู้เสียชีวิตจากไวรัส COVID-19 ของประเทศสวีเดน

ถัดไปเป็นประเทศเยอรมันที่ได้รับคำชมว่าแม้ว่าจะมีจำนวนผู้ติดเชื้อมากในระดับเดียวกับกับประเทศขนาดใหญ่ในยุโรปตะวันตก แต่มีจำนวนผู้เสียชีวิตที่ต่ำกว่ามาก รูปที่ ๓ แสดงจำนวนผู้ป่วยแยกตามช่วงอายุ ส่วนรูปที่ ๔ แสดงจำนวนผู้เสียชีวิตแยกตามเพศและช่วงอายุ จากรูปที่ ๓ จะเห็นว่าในกลุ่มผู้ติดเชื้อนั้นเป็นคนกลุ่มอายุไม่เกิน ๖๐ ปีประมาณ 70% และเป็นกลุ่มอายุตั้งแต่ ๖๐ ปีขึ้นไปประมาณ 30% แต่พอมาดูสัดส่วนจากจำนวนผู้เสียชีวิตทั้งหมดในรูปที่ ๔ จะเห็นว่า เป็นคนในกลุ่มอายุตั้งแต่ ๖๐ ปีขึ้นไปถึง 95.5% โดยมีคนกลุ่มอายุไม่เกิน ๖๐ ปีเพียงแค่ 4.5% เท่านั้น

  

และถ้าเปรียบเทียบกันระหว่างสวีเดนกับเยอรมัน จำนวนผู้เสียชีวิตของเยอรมันมากกว่าของสวีเดนประมาณ 2.4 เท่า แต่จำนวนประชากรของเยอรมันมากกว่าของสวีเดน 8 เท่า เรียกได้ว่าสวีเดนมีสัดส่วนการเสียชีวิตที่สูงกว่า

  

รูปที่ ๓ จำนวนผู้ป่วยจากไวรัส COVID-19 ของประเทศเยอรมัน

  

รูปที่ ๔ จำนวนผู้เสียชีวิตจากไวรัส COVID-19 ของประเทศเยอรมัน 

   

นิวยอร์คเป็นเมืองใหญ่ที่มีจำนวนประชากรมากกว่าบางประเทศเสียอีก แถมยังมีจำนวนผู้ติดเชื้อและผู้เสียชีวิตเป็นจำนวนมากด้วย รูปที่ ๕ เป็นตัวเลขอัตราส่วนการเสียชีวิตต่อประชากร ๑๐๐,๐๐๐ คนแยกตามกลุ่มช่วงอายุ จะเห็นว่าในส่วนของกลุ่มคนที่อยู่ในวัยทำงานนั้นต่ำมากเมื่อเทียบกับกลุ่มคนที่เกษียณอายุแล้ว และต่ำกว่าของค่าเฉลี่ยทั้งเมืองอีก อันที่จริงของสหรัฐอเมริกาเขามีการแยกตามสีผิวอีก ซึ่งมีรายงานว่าสัดส่วนการเสียชีวิต (คิดต่อจำนวนประชากร ๑๐๐,๐๐๐ คน) ของคนผิวสีนั้นสูงกว่าของคนผิวขาวมาก

  

รูปที่ ๕ อัตราส่วนการชีวิตจากไวรัส COVID-19 ต่อประชากร ๑๐๐,๐๐๐ คนของเมืองนิวยอร์ค

คำว่า United Kingdom มันเป็นการรวมกันระหว่าง Great Britain และ Northern Ireland ในส่วนของ Great Britain เองก็ประกอบด้วย England, Scotland และ Wales เรียกว่าเป็นการรวมกลุ่มประเทศแบบแปลก ๆ คือเวลาส่งทีมฟุตบอลแข่งขันก็จะแยกประเทศกันส่ง แต่พอส่งแข่งกีฬาแบบโอลิมปิกกลับรวมกันส่ง แม้แต่ข้อมูลสถานการณ์ COVID-19 ก็ยังแยกกันระหว่าง England + Wales กับ Scotland ดังเช่นข้อมูลในรูปที่ ๖ ที่แยกสัดส่วนผู้เสียชีวิตจากโรค COVID-19 ตามเพศและช่วงอายุ จากกราฟจะเห็นได้ชัดว่าประมาณ 80% หรือมากกว่าของผู้เสียชีวิตนั้นเป็นคนกลุ่มที่เกษียณอายุแล้ว

  

ช่วงที่ผ่านมาเวลาดูข่าวช่อง BBC World Service เวลาที่เขารายงานจำนวนผู้เสียชีวิต เขาก็จะมีหมายเหตุเล็ก ๆ อยู่ที่ด้านล่างของจอว่า ไม่รวมจำนวนผู้เสียชีวิตที่ Nursing home ที่เป็นสถานรับดูแลคนชรา คือนอนป่วยตายที่นั่น ไม่ได้มาตายที่โรงพยาบาล ก็เลยไม่ถูกนับรวมเอาไว้

   

รูปที่ ๖ จำนวนผู้เสียชีวิตจาก COVID-19 ใน England และ Wales (คือไม่รวม Scotland) 

 

หนังสือพิมพ์ New York Times มีการวิเคราะห์ข้อมูลในอีกรูปแบบหนึ่ง (รูปที่ ๗ และ ๘) คือไปดูว่าในช่วงเวลาเดียวกันของปี จำนวนผู้เสียชีวิตเฉลี่ยของแต่ละประเทศและบางเมืองเป็นเท่าใด และนำมาเปรียบเทียบกับของปีปัจจุบัน ซึ่งควรมีค่าประมาณค่าเฉลี่ยบวกกับผู้เสียชีวิตจาก COVID-19 ถ้าสองตัวเลขนี้รวมกันแล้วเท่ากันหรือใกล้เคียงกันก็แสดงว่าตัวเลขรายงานผู้เสียชีวิตจาก COVID-19 ของประเทศนั้นใกล้เคียงกับความเป็นจริง 

  

แต่ถ้าพบว่าต่างกันมาก คือไปในแนวโน้มที่ว่าแม้ว่าหักตัวเลขผู้เสียชีวิตจาก COVID-19 ออกไปแล้ว ค่าที่ได้ก็ยังสูงกว่าค่าเฉลี่ยอยู่มาก นั่นแสดงว่าอาจมีการเสียชีวิตจาก COVID-19 แต่ไม่ได้ถูกนำมารวมไว้

 

รูปที่ ๗ จำนวนผู้เสียชีวิต (จากทุกสาเหตุ) ของบางประเทศและบางเมือง (ที่จำนวนประชากรอาจอยู่ในระดับเดียวกันหรือมากกว่าของประเทศเล็ก ๆ อีก) นับจากต้นปีที่ผ่านมา เทียบกับค่าเฉลี่ยของช่วงเวลาเดียวกัน

   

รูปที่ ๘ ผลต่างระหว่างจำนวนผู้เสียชีวิตที่มีรายงานเพิ่มขึ้นจากค่าเฉลี่ย กับจำนวนผู้เสียชีวิตจาก COVID-19 ถ้ามีค่าออกมาเป็นบวกมากก็แสดงว่ามีความเป็นไปได้ที่มีการเสียชีวิตจาก COVID-19 ที่ไม่ได้ปรากฏในรายงานที่เป็นทางการ (เช่นการเสียชีวิตภายในบ้านหรือบ้านพักคนชรา

รูปที่ ๙ เป็นกรณีของประเทศฝรั่งเศส เป็นสัดส่วนจำนวนผู้ติดเชื้อ ผู้ป่วยหนัก และผู้เสียชีวิต แยกตามช่วงอายุ จากจำนวนผู้ติดเชื้อทั้งหมดนั้นจะเห็นได้ว่าผู้มีอายุตั้งแต่ ๖๔ ปีขึ้นไปมีสัดส่วนในกลุ่มนี้เพียงแค่ประมาณ 30% แต่คนกลุ่มนี้มีสัดส่วนสูงกว่า 90% ในส่วนของผู้เสียชีวิต ในขณะที่คนที่กำลังอยู่ในวัยรุ่นหรือวัยกลางคน (กลุ่มอายุ 15-44 ปี) มีสัดส่วนในส่วนของผู้เสียชีวิตเพียงแค่ 1% เท่านั้นเอง

  

รูปที่ ๙ สัดส่วนจำนวนผู้ติดเชื้อ ผู้ป่วยหนัก และผู้เสียชีวิต แยกตามช่วงอายุ ของประเทศฝรั่งเศส

เมื่อปลายสัปดาห์ที่แล้วมีเพื่อนผมคนหนึ่งตั้งคำถามเกี่ยวกับการใช้ Herd Immunity หรือภูมิคุ้มกันหมู่มาจัดการกับ COVID-19 คือปล่อยให้คนดำเนินชีวิตไปตามปรกติ แล้วให้เชื้อโรคมันจัดการกับผู้ที่อ่อนแอ สังคมก็จะเหลือแต่ผู้ที่แข็งแรง และก็ได้ยกกรณีของประเทศสวีเดนขึ้นมา ซึ่งผมก็ได้ให้ความเห็นของผมไปดังข้อความข้างล่าง วันนี้ก็เลยจะขอบันทึกข้อความดังกล่าวเอาไว้เสียหน่อย

"ถ้าอัตราการตายเป็นแบบกระจายแบบทั่วถึงสำหรับทุกช่วงอายุ (คือจะเด็ก วัยรุ่น คนทำงาน คนแก่ ก็มีโอกาสตายเท่ากันหมด) ก็น่าสงสัยว่าประเทศที่บอกว่าจะใช้วิธี herd immunity จะเลือกใช้วิธีนี้หรือเปล่า เพราะมันก็มีมุมมองที่แม้ว่านักการเมืองจะไม่พูด แต่ก็ห้ามไม่ให้คิดไม่ได้เช่นกัน

  

ในกรณีปัจจุบันดูเหมือนว่าในประเทศเหล่านั้นผู้เสียชีวิตจำนวนไม่น้อยเลยที่เป็นผู้ที่อยู่ในบ้านพักคนชรา ที่ถ้ามองในแง่ของรัฐบาลแล้วก็คือพวกที่ไม่ได้ทำประโยชน์อะไรให้กับสังคม เพราะไม่มีการทำงานเสียภาษีให้รัฐ แต่เป็นภาระที่รัฐต้องเอาเงินภาษีเลี้ยงดูไปจนกว่าจะตาย การลดจำนวนคนกลุ่มนี้ลงได้ด้วยวิธีการแบบเนียน ๆ เช่นในขณะนี้ ก็จะช่วยรัฐประหยัดงบประมาณในอนาคตไปได้มาก

  

ถ้ามองในแง่ของคนชราที่ไม่ได้มีปากเสียงอะไรเลย เพราะไม่เห็นสำนักข่าวต่างชาติอันไหนเลยไปทำข่าวว่าพวกเขารู้สึกอย่างไร เขาก็คงคิดในใจว่าตอนเขายังแข็งแรง เขาทำงานเสียภาษีให้รัฐเพื่อให้เด็ก ๆ ได้เรียนได้เติบโตในสังคมที่มีคุณภาพ แต่พอเขาแก่ขึ้นมา เด็กเหล่านั้นกลายเป็นผู้ใหญ่ เขากลับถูกเด็กเหล่านี้มองว่าเป็นพวกไม่มีประโยชน์ต่อสังคม เป็นภาระให้ต้องเลี้ยงดู

  

บางครั้งความสัมพันธ์ในสังคมระหว่างคนต่างช่วงอายุ ก็อาจเป็นปัจจัยสำคัญในการตัดสินใจเลือกวิธีการได้นะ"

แหล่งที่มาของข้อมูล

Sweden :

https://www.statista.com/statistics/1107913/number-of-coronavirus-deaths-in-sweden-by-age-groups/

Germany :

https://www.statista.com/statistics/1105512/coronavirus-covid-19-deaths-by-gender-germany/

New York :

https://www.statista.com/statistics/1109867/coronavirus-death-rates-by-age-new-york-city/

France :

https://www.statista.com/statistics/1102881/infections-coronavirus-age-france/

England and Wales :

https://www.ons.gov.uk/peoplepopulationandcommunity/healthandsocialcare/conditionsanddiseases/articles/coronaviruscovid19roundup/2020-03-26#coviddeaths

New York Times :

https://www.nytimes.com/interactive/2020/04/21/world/coronavirus-missing-deaths.html

การคำนวณเชิงตัวเลข (๓๗) การแก้สมการอนุพันธ์ด้วยฟังก์ชันพหุนาม (๑๒) MO Memoir : Wednesday 21 April 2563

จากสมการสำหรับคำนวณหา orthogonal function ในช่วง [0, 1] สำหรับฟังก์ชันพนุนามที่เป็นฟังก์ชันคู่ข้างล่าง ...

ดาวน์โหลดไฟล์ pdf ฉบับเต็มได้ที่นี่

การคำนวณเชิงตัวเลข (๓๖) การแก้สมการอนุพันธ์ด้วยฟังก์ชันพหุนาม (๑๑) MO Memoir : Tuesday 21 April 2563

สมการสำหรับคำนวณหา orthogonal function ในช่วง [0, 1] สำหรับฟังก์ชันพนุนามที่เป็นฟังก์ชันคู่ ในหนังสือของ Finlayson ได้ให้สมการต่อไปนี้ไว้

ดาวน์โหลดบทความ pdf ฉบับเต็มได้ที่นี่ 

การคำนวณเชิงตัวเลข (๓๕) การแก้สมการอนุพันธ์ด้วยฟังก์ชันพหุนาม (๑๐) MO Memoir : Thursday 16 April 2563

ฉบับนี้เป็นฉบับต่อจากตอนที่แล้ว (ฉบับวันเสาร์ที่ ๑๑ เมษายน ๒๕๖๓ ที่ผ่านมา) แต่คราวนี้จะเป็นกรณีของพิกัดทรงกระบอก (cylindrical) และทรงกลม (spherical)

เริ่มจากกรณีของตัวเร่งปฏิกิริยารูปทรงกระบอกที่มีรัศมี r = 1 หน่วย และมีความยาวเป็นอนันต์ (เพื่อตัดผลที่หัวท้ายออกไป ให้มีเฉพาะการแพร่ในทิศทางแนวรัศมีเท่านั้น) ในกรณีนี้สมการดุลมวลสารอย่างง่ายจะมีหน้าตาดังนี้ ....

ดาวน์โหลดบทความ pdf ฉบับเต็มได้ที่ลิงก์นี้

การผลิตแก๊สคลอรีนเพื่อใช้ทำปฏิกิริยาในห้องปฏิบัติการ MO Memoir : Monday 13 April 2563

เมื่อตอนต้นเดือนที่ผ่านมา นักวิจัยจากสถาบันวิจัยแห่งหนึ่งในมหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์โทรศัพท์มาปรึกษาผมเรื่องที่ว่าเขามีเพื่อนที่เป็นนักวิจัยที่ทำงานที่บริษัทแห่งหนึ่งมีปัญหาเกี่ยวกับแก๊สคลอรีนที่จะนำมาใช้ทำปฏิกิริยา ก็เลยขออนุญาตให้เพื่อนของเขาติดต่อปรึกษากับผมโดยตรง ซึ่งผมก็ตอบรับด้วยความยินดี

  

ปัญหาที่เขามีก็คือเขามีสารละลายโลหะ Mⁿ⁺ ในกรดเกลือ ทีนี้เขาต้องการออกซิไดซ์ไอออน Mⁿ⁺ ให้กลายเป็น M⁽ⁿ⁺¹⁾⁺ และจากการศึกษาของเขาก็พบว่า หนึ่งในวิธีการออกซิไดซ์ดังกล่าวทำได้ด้วยการใช้แก๊สคลอรีน (chlorine Cl₂)

  

อันที่จริงการออกซิไดซ์ไอออนโลหะตัวนี้มันยังมีวิธีการอื่นอีก แต่เดาว่าเมื่อเขาพิจารณาจาก วัตถุดิบที่เขามี, ผลิตภัณฑ์ที่ต้องการ และความรวดเร็วในการทำปฏิกิริยา เขาคงเห็นว่าการใช้แก๊สคลอรีนน่าจะเหมาะสมสุด แต่ปัญหาก็คือแก๊สตัวนี้เป็นแก๊สพิษ แถมยังถูกจัดให้เห็นยุทธภัณฑ์ด้วย ซึ่งถ้าต้องการครอบครองในระดับโรงงานก็ไม่น่าจะมีปัญหา แต่ถ้าต้องการเพียงไม่มากเพื่อมาทดลองทำแลป มันจะเป็นเรื่องใหญ่

  

แก๊สคลอรีนเป็นผลพลอยได้จากการผลิตโซดาไฟ (caustic soda NaOH) หรือสารละลายโซเดียมไฮดรอกไซด์ ซึ่งเมื่อนำสารละลายเกลือแกง (sodium chloride NaCl) มาแยกด้วยไฟฟ้าก็จะได้แก๊สไฮโดรเจนและแก๊สคลอรีน ทีนี้ถ้าทางโรงงานนั้นไม่ต้องการจะขายแก๊สคลอรีน เขาก็สามารถนำแก๊สไฮโดรเจนและคลอรีนที่ได้มาทำปฏิกิริยากับเป็นแก๊สไฮโดรเจนคลอไรด์ (hydrogen chloride HCl) ซึ่งเมื่อนำไปละลายน้ำก็จะได้สารละลายกรดเกลือ (hydrochloric acid) หรือนำแก๊สคลอรีนไปทำปฏิกิริยากับสารละลาย NaOH ก็จะได้สารละลายโซเดียมไฮโปคลอไรต์ (sodium hypochlorite NaOCl) ที่เราใช้เป็นน้ำยาซักผ้าขาว (และยังใช้ฆ่าเชื้อโรคได้ด้วยที่ตอนนี้มีการนำมาใช้เป็นน้ำยาล้างทำความสะอาดพื้นผิว ตัวนี้มันดีกว่าเอทานอลตรงที่ไม่ติดไฟ แต่กลิ่นมันฉุน) ส่วนน้ำยาซักผ้าสีนั้นจะเป็นพวกไฮโดรเจนเปอร์ออกไซด์ (hydrogen peroxide H₂O₂) 

   

ปฏิกิริยาหนึ่งที่สามารถใช้สังเคราะห์แก๊สคลอรีนได้ก็คือปฏิกิริยาระหว่างกรดเกลือกับสารละลายไฮโปคลอไรต์ ซึ่งเมื่อเร็ว ๆ นี้ก็มีเรื่องปรากฏในเว็บบอร์ดแห่งหนึ่งที่มีผู้ใช้น้ำยาซักผ้าขาว (สูตรโซเดียมไฮโปคลอไรต์) ล้างห้องน้ำเพื่อฆ่าเชื้อโรค แล้วก็ราดน้ำยาล้างห้องน้ำ (สูตรกรดเกลือ) ตามลงไป ผลก็คือเกิดแก๊สคลอรีนฟุ้งเต็มห้องน้ำถึงกับต้องเผ่นออก

รูปที่ ๑ ตัวอย่างรูปแบบการออกแบบอุปกรณ์ทดลองที่ได้นำเสนอไปในการสนทนาครั้งแรก

  

ปฏิกิริยาหนึ่งที่นักวิจัยท่านนั้นมองเอาไว้ก็คือการผลิตคลอรีนด้วยปฏิกิริยาระหว่างสารละลายไฮโปคลอไรต์กับกรดเกลือ แต่เขาไม่แน่ใจว่าจะออกแบบอุปกรณ์การทดลองอย่างไรดีเพื่อให้ทำงานได้ปลอดภัย และนั่นก็เป็นต้นเรื่องที่นำสู่บทสนทนาเมื่อต้นเดือนที่ผ่านมา 

  

ผมถามเขาก่อนว่าสารละลายโลหะ Mⁿ⁺ ในกรดเกลือของเขานั้นมีกรดเกลือเหลืออยู่มากพอไหม ถ้ามีมากพอก็เสนอแนวคิดว่าน่าจะลองเติมสารละลายไฮโปคลอไรต์ลงไปในสารละลายโลหะโลหะ Mⁿ⁺ ในกรดเกลือนั้นเลย แต่การเติมนั้นไม่ใช่การเทลงไปโดยตรงหรือหยดลงไปโดยตรง เพราะถ้าให้สารละลายไฮโปคลอไรต์สัมผัสกับสารละลายโลหะ Mⁿ⁺ ในกรดเกลือจากทางด้านบน มันก็มีโอกาสสูงที่แก๊สคลอรีนที่เกิดขึ้นนั้นจะหลุดรอดออกจากพื้นผิวสารละลายออกไป แต่ควรที่จะทำการเติมสารละลายไฮโปคลอไรต์อย่างช้า ๆ ลงไปที่ด้านล่างของสารละลายโลหะ Mⁿ⁺ ในกรดเกลือ (รูปที่ ๑) ภายใต้สภาวะที่มีการปั่นกวน ทั้งนี้เพื่อให้แก๊สคลอรีนที่เกิดขึ้นทีละน้อย ๆ นั้นสามารถทำปฏิกิริยากับไอออน Mⁿ⁺ ได้หมดก่อนที่จะมีโอกาสหลุดรอดพื้นผิวของเหลวออกมา แต่เพื่อความปลอดภัยก็ได้แนะนำให้เขาติด condenser เอาไว้ข้างด้วย

  

ณ จุดนี้อาจมีคนแย้งว่าน้ำประปาที่ใช้เป็นน้ำหล่อเย็นนั้นมันไม่สามารถควบแน่นแก๊สคลอรีนได้ ซึ่งมันก็ถูกต้องครับ แต่วัตถุประสงค์ที่ให้ติดตั้ง condenser ก็เพราะว่าคลอรีนเป็นแก๊สที่หนักกว่าอากาศ การทำให้ท่อปล่อยแก๊สทิ้ง (vent) อยู่สูงขึ้นไปนั้นจะช่วยลดโอกาสที่แก๊สคลอรีนที่เกิดขึ้นนั้นจะหลุดรอดออกจากภาชนะที่ใช้ทำปฏิกิริยา (เช่นฟลาสค์ ๓ คอ) และเพิ่มโอกาสที่แก๊สคลอรีนที่ยังคงอยู่ในภาชนะนั้นจะละลายกลับเข้าไปในสารละลาย หรือในระหว่างการทำปฏิกิริยามีไอน้ำระเหยขึ้น ไอน้ำที่ควบแน่นกลับลงมาก็จะช่วยชะเอาแก๊สคลอรีนกลับลงไปด้วย หรือถ้าใช้ condenser แบบที่เป็นท่อตรง ก็อาจทำการบรรจุสารดูดซับที่สามารถดักจับแก๊สคลอรีนได้เอาไว้ข้างใน

  

แต่ระบบในรูปที่ ๑ นั้นมันมีสิ่งหนึ่งที่ต้องคำนึง พอจะมองเห็นไหมครับ สิ่งนั้นก็คือไอออนบวกที่มากับสารละลายไฮโปคลอไรต์นั้น มันจะเข้าไปผสมอยู่กับสารละลายผลิตภัณฑ์ ซึ่งก็ต้องมาพิจารณาอีกทีว่ามันก่อปัญหาในการนำเอาผลิตภัณฑ์ที่ได้นั้นไปใช้งานหรือไม่

  

ไฮโปคลอไรต์ที่ใช้กันทั่วไปก็มีอยู่สองตัวด้วยกัน ตัวแรกคือโซเดียมไฮโปคลอไรต์ (soium hypochlorite NaOCl) ที่เรามักใช้เป็นน้ำยาซักผ้าขาว และแคลเซียมไฮโปคลอไรต์ (calcium hypochlorite Ca(OCl)₂) ที่ใช้เป็นสารฆ่าเชื้อโรคในน้ำตามสระว่ายน้ำ

รูปที่ ๒ ระบบสำหรับที่ไม่ต้องการให้ไอออนบวกของสารละลายไฮโปคลอไรต์เข้าไปปนเปื้อนในสารละลายผลิตภัณฑ์

 

วันนี้ระหว่างที่กำลังเขียน Memoir ฉบับนี้อยู่ ก็มีโทรศัพท์จากทางนักวิจัยของทางบริษัทติดต่อมาก็เรื่องดังกล่าว คือมีผู้มาเสนอขายแคลเซียมไฮโปคลอไรต์ให้เขา เขาก็เลยโทรมาปรึกษาผมว่าถ้าใช้ตัวนี้แทนโซเดียมไฮโปคลอไรต์มันจะมีปัญหาอะไรไหม ซึ่งผมก็ตอบเขากลับไปว่าทางเขาคงต้องกลับไปพิจารณาว่า Ca²⁺ ที่ปนอยู่ในผลิตภัณฑ์นั้นจะก่อให้เกิดปัญหาอะไรหรือไม่ (ซึ่งผมคิดว่ามันน่าจะเกิดแน่ ๆ เมื่อพิจารณาจากความต้องการใช้งานสุดท้าย) แต่ถ้าคิดว่าการผลิตแก๊สคลอรีนจากแคลเซียมไฮโปคลอไรต์นั้นถูกกว่าการใช้โซเดียมไฮโปคลอไรต์ ก็ต้องออกแบบชุดอุปกรณ์ทดลองใหม่ โดยต้องแยกส่วนผลิตแก๊สคลอรีนออกจากส่วนทำปฏิกิริยา ดังตัวอย่างที่แสดงในรูปที่ ๒

  

รูปที่ ๒ เป็นเพียงแค่แผนผังนะครับ คนอยู่แลปเคมีที่มีเครื่องแก้วพร้อมก็น่าจะพอมองออกว่าจะดัดแปลงเอาอุปกรณ์ตัวไหนมาใช้ได้ สิ่งที่ต้องทำก็คือการทำปฏิกิริยาระหว่างสารละลายไฮโปคลอไรต์กับสารละลายกรดเกลือในภาชนะหนึ่ง แล้วให้แก๊สคลอรีนที่เกิดขึ้นนั้นไปทำปฏิกิริยากับสารละลายโลหะ Mⁿ⁺ ในกรดเกลือในอีกภาชนะหนึ่ง การทำปฏิกิริยานั้นอาจเป็นในรูปแบบให้ฟองแก๊สคลอรีนลอยผ่านสารละลายโลหะ Mⁿ⁺ ในกรดเกลือ หรือในรูปของหอ scrubber ที่ให้แก๊สคลอรีนนั้นไหลส่วนทางกับสารละลายโลหะ Mⁿ⁺ ในกรดเกลือที่ไหลลงมา โดยในรูปที่ ๒ นั้นก็แสดงไว้ทั้งสองแบบ คือให้แก๊สคลอรีนทำปฏิกิริยากับสารละลายโลหะ Mⁿ⁺ ในกรดเกลือก่อน และมีการสูบสารละลายโลหะ Mⁿ⁺ ในกรดเกลือไปป้อนเข้าตัว scrubber ที่ติดตั้งอยู่ทางช่องระบายแก๊สทิ้ง เพื่อดักจับเอาแก๊สคลอรีนไม่ให้หลุดรอดออกไป

  

ผลสุดท้ายจะเป็นอย่างไรนั้นผมก็ไม่รู้เหมือนกัน เพียงแต่ได้ให้ความช่วยเหลือทางด้านวิชาการไปตามที่มีผู้ร้องขอมา

  

ปิดท้ายที่ว่างของหน้าสุดท้ายด้วยข้อความที่ผมโพสเอาไว้บนหน้า facebook เมื่อกลางเดือนที่แล้วหน่อย เกี่ยวกับเรื่องการเรียนของนิสิตโดยที่ไม่ต้องมาเรียนที่มหาวิทยาลัย ที่ผมเห็นว่าเขาทำกันมานานแล้ว ไม่ใช่เพิ่งจะมาฮิตกันในช่วงนี้

ทำไม Latent heat ลดลงเมื่อความดันสูงขึ้น MO Memoir : Sunday 12 April 2563

"ความจริงมีอยู่ว่า ในวงวิชาการ-ไม่ว่าจะเป็นสาขาใด-บ่อยครั้งที่ผู้ที่มิได้อยู่ในวงการนั้นมาก่อน, มีส่วนสำคัญในการเปลี่ยนแปลง หรือพัฒนาเนื้อหาของวิชานั้น. เหตุผลก็คือ เขามิได้ถูกครอบมาด้วยธรรมเนียม, ด้วยวิธีคิด, ด้วยวิธีมอง อย่างผู้ที่เติบโตและผ่านกระบวนการเช่นนั้นมาส่วนมาก ทำให้เขามองเห็นในสิ่งที่เคยชินชาและละเลยกันมา และสงสัยในประเด็นที่เคยถือกันมาว่าเป็นเรื่องปรกติ."

  

ข้อความข้างบนผมนำมาจาก "คำนำเสนอ" เขียนโดยคุณสุพจน์ แจ้งเร็ว ในหนังสือ "สยามกู้อิสรภาพตนเอง ทางออกและวิธีแก้ปัญหาชาติบ้านเมือง เกิดจากพระราชกุศโลบายของพระเจ้าแผ่นดิน" ที่เขียนโดยคุณไกรฤกษ์ นานา ผมใส่เครื่องหมายต่าง ๆ (เช่น จุดทศนิยม ลูกน้ำ) ตามต้นฉบับนะครับ

  

คุณไกรฤกษ์ นานา นั้นไม่ได้ศึกษาทางด้านประวัติศาสตร์มา แต่เมื่อมาสนใจศึกษาประวัติศาสตร์แบบเรียนรู้ด้วยตนเอง จึงทำให้มีมุมมองที่แตกต่างไปจากผู้ที่เรียนจบมาทางด้านประวัติศาสตร์โดยตรงที่มักมีกรอบความคิดที่ยึดติดมาจากการเรียน และนั่นก็คือที่มาของส่วนหนึ่งของ "คำนำเสนอ" ในย่อหน้าแรก

   

เรื่องที่ดูเป็นเรื่องพื้นฐานธรรมดา ไม่น่าจะมีอะไร สำหรับผู้ที่เรียนมาทางด้านหนึ่งนั้น พอเจอกับคนที่ไม่ได้เรียนมาทางด้านเดียวกันตั้งคำถามขึ้นมา บางทีมันก็ทำเอาอึ้งไปเหมือนกัน ประสบการณ์ตรงที่ตัวเองเคยประสบก็คือตอนที่จบไปทำงานใหม่ ๆ ดูแลการก่อสร้างโรงงาน มีรุ่นพี่วิศวไฟฟ้าผู้หนึ่งถามว่า STP (Standard Temperature and Pressure) นี่มันนิยามตรงไหน ปรากฏว่าเหล่านักเคมีและวิศวกรเคมีในทีมเดียวกัน ต่างตอบไม่ตรงกัน ทั้งนี้เพราะต่างคนต่างช่วงอายุ เรียนมาด้วยตำราที่แตกต่างกัน สิ่งที่เป็นคำถามตามมาก็คือ แล้วตอนที่ทางฝ่ายไทยคุยกับวิศวกรของบริษัทต่างชาติที่ทำหน้าที่ออกแบบโรงงานที่กำลังก่อสร้างอยู่นั้น นิยาม STP ของเรากับของเขานั้นตรงกันหรือไม่

  

พอเปลี่ยนมาเป็นสายงานสอนหนังสือ บ่อยครั้งที่ได้เจอคำถามที่จะว่าไปมันก็เป็นสิ่งที่เห็นอยู่ตรงหน้า แต่ด้วยความเคยชินเราจึงไม่เคยตั้งคำถามมัน ว่าทำไมมันเป็นอย่างนั้น พอมีนิสิตถามขึ้นมามันก็เลยชวนให้คิดหาเหตุผลอธิบาย ดังเช่นเรื่องที่เอามาเป็นหัวข้อในวันนี้ เป็นคำถามที่นิสิตที่กำลังฝึกงานผู้หนึ่งถามมาเมื่อ ๗ ปีที่แล้วผ่านมาทาง Facebook คือเขาถามว่า "ทำไม saturated steam ที่ความดันสูงขึ้น ถึงมี latent heat ต่ำลง" (รูปที่ ๑)

  

รูปที่ ๑ คำถามที่มีนิสิตผู้หนึ่งถามมาเมื่อ ๗ ปีที่แล้ว

   

ดูเหมือนเรื่องนี้ตำรามันไม่ได้เขียนเอาไว้ด้วย เพื่อที่จะตอบคำถามนี้ก็เลยต้องขอนำเอาความรู้พื้นฐานที่อยู่มาใช้ ดังนั้นสิ่งผมคิดเอาไว้นั้นจะถูกหรือผิดก็ต้องมาช่วยกันพิจารณาครับ แต่ก่อนอื่นเรามาลองทำความรู้จักกันก่อนว่า latent heat นั้นคืออะไร และการที่ latent heat ลดลงเมื่อความดันสูงขึ้นนั้น มันเป็นเฉพาะกรณีของไอน้ำหรือเปล่า

  

ในกรณีนี้เมื่อพูดถึง latent heat เราก็ต้องมองภาพไปที่ระบบที่อยู่ที่อุณหภูมิจุดเดือดก่อน latent heat นี้ก็คือพลังงานที่ต้องดูดกลืนหรือคายออกเพื่อให้โมเลกุลย้ายจากเฟสหนึ่งไปยังอีกเฟสหนึ่ง มันเป็นพลังงานที่เฟสของเหลว (ที่อุณหภูมิจุดเดือด) ต้องดูดกลืนเพื่อเปลี่ยนสถานะให้กลายเป็นไออิ่มตัว (ที่อุณหภูมิจุดเดือด) และเป็นพลังงานที่เฟสไอ (ที่อุณหภูมิจุดเดือด) ต้องคายออกเพื่อเปลี่ยนสถานะเป็นเฟสของเหลว (ที่อุณหภูมิจุดเดือด) และอุณหภูมิจุดเดือดก็จะเพิ่มสูงขึ้นตามความดันเหนือผิวของเหลวที่เพิ่มสูงขึ้น

  

ผมลองค้นดู Pressure-Enthalpy Diagram (หรือที่เขียนย่อว่า PH diagram) ของหลายสาร ก็พบว่าค่าlatent heat นั้น "ลดต่ำลง" เมื่ออุณหภูมิระบบสูงขึ้น รูปที่ ๒ - ๔ ที่ยกมาเป็นตัวอย่างก็เป็นกรณีของ น้ำ (รูปที่ ๒) คาร์บอนไดออกไซด์ (R-744 ในรูปที่ ๓ เลขรหัส R-744 เกิดจากการที่มันถูกนำไปใช้เป็นสารทำความเย็นในช่วงอุณหภูมิต่ำด้วย) และสารทำความเย็น tetrafluoroethane (HFC-134a ในรูปที่ ๔) และความแตกต่างนี้จะหมดไปที่จุดวิกฤต (critical point) ที่เราไม่สามารถบอกความแตกต่างระหว่างของเหลวและแก๊สได้ เส้นการเปลี่ยนแปลง latent heat (คือการเปลี่ยนแปลงเอนทาลปี) ระหว่างเฟสของเหลวกับแก๊สก็คือเส้นสีส้มกับเส้นสีเขียว (ที่เป็นเส้นที่ความดันสูงกว่าเส้นสีส้ม) ในแนวนอนที่ผมขีดไว้ให้เห็นในรูปต่าง ๆ เพื่อช่วยให้มองเห็นภาพได้ชัดขึ้น จะเห็นว่าเส้นสีเขียวที่อยู่ที่ความดันสูงกว่านั้นจะสั้นกว่าเส้นสีส้ม แสดงให้เห็นการเปลี่ยนแปลงเอนทาลปีที่ลดลงเมื่อความดันเพิ่มสูงขึ้น

เพื่อที่จะหาคำอธิบายว่าทำไมค่า latent heat จึงลดลงเมื่อความดันสูงขึ้น เนื่องจาก latent heat เป็นตัวบอกพลังงานที่แตกต่างกันระหว่างเฟสของเหลวและไอ ผมจึงมองไปตรงที่เฟสทั้งสองนั้นมี "ความแตกต่าง" กันมากแค่ไหน

แรงกระทำระหว่างโมเลกุลนั้นประกอบด้วยแรงดึงดูดระหว่างโมเลกุล และการชนกันระหว่างโมเลกุลที่เกิดจากพลังงานจลน์ของโมเลกุล แรงดึงดูดระหว่างโมเลกุลนั้นเด่นชัดเมื่อโมเลกุลอยู่ใกล้กัน ถ้าแรงดึงดูดระหว่างโมเลกุลสูงกว่าแรงที่เกิดจากการชนกันระหว่างโมเลกุล โมเลกุลก็จะอยู่รวมกันเป็นกลุ่มก้อนได้ (ซึ่งอาจเป็นของแข็งหรือของเหลว) แต่ถ้าแรงดึงดูดระหว่างโมเลกุลนั้นไม่สูงพอ แรงที่เกิดจากการชนกันระหว่างโมเลกุลทำให้โมเลกุลกระเด็นกระดอนออกไปได้ไกล สารนั้นก็จะกลายเป็นไอไป

  

ที่ความดันต่ำ อุณหภูมิจุดเดือดก็ต่ำ ในเฟสของเหลวโมเลกุลก็จะมีการเคลื่อนที่ช้า (เพราะอุณหภูมิต่ำ พลังงานจลน์เลยต่ำ) แรงดึงดูดระหว่างโมเลกุลมีค่าสูง (เพราะโมเลกุลอยู่ใกล้กัน) ในขณะที่เฟสแก๊สนั้นโมเลกุลอยู่ห่างกัน มีการเคลื่อนตัวได้อย่างอิสระมาก (เพราะความดันต่ำ).

   

ที่ความดันสูง อุณหภูมิจุดเดือดก็สูง ในเฟสของเหลวโมเลกุลจะมีการเคลื่อนที่กันอย่างรวดเร็ว (พลังงานจลน์สูงขึ้น) ระยะห่างระหว่างโมเลกุลเพิ่มมากขึ้น แรงดึงดูดระหว่างโมเลกุลมีค่าลดลง (เพราะโมเลกุลอยู่ห่างกัน) ในขณะที่เฟสแก๊สนั้นแม้ว่าโมเลกุลจะมีการเคลื่อนที่เร็วขึ้นเช่นกัน แต่ระยะห่างระหว่างโมเลกุลนั้นลดลง แรงดึงดูดระหว่างโมเลกุลเลยเพิ่มขึ้น (ความเป็นอิสระของโมเลกุลในการเคลื่อนที่นั้นลดลง) ความแตกต่างระหว่างเฟสของเหลว (โมเลกุลอยู่ห่างกันมากขึ้น แต่ก็ยังห่างกันน้อยกว่าเฟสแก๊ส) กับเฟสแก๊ส (ที่โมเลกุลอยู่ใกล้กันมากขึ้น แต่ก็ยังห่างกันมากกว่าเฟสของเหลว) นั้นลดลง พลังงานที่ต้องดูดกลืนหรือคายออก (ซึ่งก็คือ latent heat เพื่อต้องใส่เข้าไปเพื่อเอาชนะแรงดึงดูดระหว่างโมเลกุล หรือต้องดึงออกเพื่อลดพลังงานจลน์ของโมเลกุล) เพื่อเปลี่ยนเฟสก็เลยลดต่ำลง

คำอธิบายข้างต้นพอจะใช้ได้ไหม ก็ขอให้ผู้อ่านลองพิจารณาด้วยนะครับ :) :) :)

  

รูปที่ ๒ PH diagram ของน้ำ

(จาก https://i.pinimg.com/originals/f9/d7/48/f9d748ca5053ddc63f534a061ced089f.jpg)

  

รูปที่ ๓ PH diagram ของ CO₂ (จาก https://www.unilab.eu/articles/technical-articles/thermodynamic-engineering-articles/carbon-dioxide-refrigerant/)

  

รูปที่ ๔ PH diagram ของ HFC-134a (จาก https://www.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/2-5-points-p-h-diagram-pressure-vs-entropy-refrigerant-hfc-r134a-tetrafluoroethane-attache-q14235061)

การคำนวณเชิงตัวเลข (๓๔) การแก้สมการอนุพันธ์ด้วยฟังก์ชันพหุนาม (๙) MO Memoir : Saturday 11 April 2563

ในการทำปฏิกิริยาที่มีการใช้ตัวเร่งปฏิกิริยาวิวิธพันธ์บนตัวรองรับ (supported heterogeneous catalyst) นั้น สารตั้งต้นจะแพร่จากเฟส bulk fluid ที่ล้อมรอบอนุภาคตัวเร่งปฏิกิริยา เข้าไปในรูพรุนของตัวรองรับเพื่อเข้าไปเกิดปฏิกิริยาบน active species ที่เคลือบอยู่บนพื้นผิวรูพรุนของตัวรองรับ (catalyst support) เกิดเป็นผลิตภัณฑ์ที่จะแพร่สวนทางออกมา ดังนั้นเมื่อสารตั้งต้นแพร่ลึกเข้าไปในรูพรุนเรื่อย ๆ ความเข้มข้นของสารตั้งต้นก็จะลดต่ำลง ส่วนจะลดต่ำลงมากแค่ไหนก็ขึ้นอยู่กับอัตราส่วนระหว่างอัตราเร็วในการแพร่ต่ออัตราเร็วในการเกิดปฏิกิริยา ถ้าอัตราเร็วในการแพร่นั้นสูงเมื่อเทียบกับอัตราการเกิดปฏิกิริยา ความเข้มข้นของสารตั้งต้นก็จะลดลงไม่มาก แต่ถ้าอัตราเร็วในการเกิดปฏิกิริยานั้นสูงมากจนสารตั้งต้นแพร่เข้าไปไม่ทัน ความเข้มข้นของสารตั้งต้นก็อาจจะลดลงเป็นศูนย์อย่างรวดเร็ว และเราก็ได้นำความรู้ตรงนี้มาใช้ในการออกแบบตัวเร่งปฏิกิริยาว่า ในการเคลือบ active species เข้าไปในรูพรุนของตัวรองรับนั้น จำเป็นหรือไม่ที่ต้องให้ active species มีอยู่ตลอดทั้งความลึกของรูพรุน เพราะถ้าปฏิกิริยาเกิดเร็วมากจนสารตั้งต้นหมดไปก่อนที่จะสามารถแพร่เข้าไปได้ลึก active species ที่อยู่ลึกเข้าไปในรูพรุนก็ไม่ได้ใช้ประโยชน์ การมี active species ที่อยู่ลึกเข้าไปในรูพรุนก็จะเป็นการสูญเปล่า (เพราะใส่มันเข้าไป แต่ใช้ประโยชน์ไม่ได้) ในการศึกษาด้านตัวเร่งปฏิกิริยาวิวิธพันธ์เรื่องเหล่านี้อยู่ในหัวข้อเรื่อง effectiveness factor

วันนี้เราจะมาลองคำนวณหาโปรไฟล์การเปลี่ยนแปลงความเข้มข้นสารตั้งต้นในรูพรุนของตัวเร่งปฏิกิริยา โดยเริ่มจากแบบจำลองอย่างง่ายก่อน โดยสมมุติว่าเรามีตัวเร่งปฏิกิริยาที่มีรูปร่างเป็นแผ่นแบน (slab) ที่มีความหนา 2 หน่วยและมีความกว้างยาวเป็นอนันต์ (อันนี้เป็นข้อสมมุติเพื่อให้โจทย์ปัญหาเป็นเพียงแค่ 1 มิติคือเฉพาะในทิศทางความหนาเท่านั้น) กำหนดให้ตำแหน่งกึ่งกลางคือตำแหน่ง x = 0 และขอบด้านซ้ายและด้านขวาคือ x = -1 และ x = 1 ตามลำดับ สิ่งที่เราคาดการณ์ได้ก็คือโปรไฟล์ความเข้มข้นควรมีความสมมาตร ณ ตำแหน่งแกนกลาง (x = 0) ดังแสดงในรูปที่ ๑ โดยความเข้มข้นที่ขอบนอกจะสูงสุด และจะลดลงต่ำสุดที่แนวเส้นกึ่งกลาง

ดาวน์โหลดไฟล์ pdf ฉบับเต็มได้ที่นี่ 

 

การคำนวณเชิงตัวเลข (๓๓) การแก้สมการอนุพันธ์ด้วยฟังก์ชันพหุนาม (๘) MO Memoir : Monday 6 April 2563

จากที่ได้เกริ่นไว้เมื่อวันเสารที่ผ่านมา วันนี้จะเป็นการคำนวณหา orthogonal function ในช่วง [0, 1] สำหรับฟังก์ชันพนุนามที่เป็นฟังก์ชันคู่ในกรณีของพิกัดทรงกลม (Spherical coordinate) โดยเริ่มจากสมการที่ (1) ข้างล่าง

ดาวน์โหลดฉบับ pdf ได้ที่นี่