ใบไหนน้ำเต็มก่อน MO Memoir 2559 Nov 14 Mon

เห็นรูปคำถามข้างล่างมันโผล่มาบนหน้า facebook เห็นว่ามันน่าสนใจดี ก็เลยอยากลองให้พิจารณากันเล่น ๆ ดูก่อน (ได้คำตอบอะไรก็เก็บเอาไว้ในใจก็แล้วกันครับ)

รูปที่ ๑

ทีนี้อยากให้ลองพิจารณารูปที่ ๒ ข้างล่าง โดยสมมุติว่าคุณมีถังน้ำอยู่ในหนึ่ง มีรูรั่วเล็ก ๆ อยู่ที่ก้นถัง ถ้าคุณเอาถังใบนี้ไปรองน้ำที่เปิดให้ไหลจากก๊อก คำถามก็คือคุณสามารถเติมน้ำให้ "ล้น" ถังใบนี้ได้หรือไม่ (เปิดก๊อกน้ำเอาไว้คงที่ตลอดเวลาที่เติม) ได้คำตอบอะไรก็เก็บเอาไว้ในใจก็แล้วกันนะครับ

อัตราการไหลของน้ำที่รั่วออกทางก้นถังขึ้นอยู่กับความสูงของระดับน้ำในถัง (เมื่อกำหนดให้รูรั่วมีขนาดคงที่) ดังนั้นอัตราการไหลรั่วออกของน้ำจะสูงที่สุดเมื่อระดับน้ำในถังนั้นสูงถึงขอบบนของถัง ดังนั้นถ้าอัตราการไหลเข้าของน้ำต่ำกว่าอัตราการไหลรั่วออกสูงสุด น้ำก็จะไม่ล้นถัง แต่ถ้าอัตราการไหลเข้านั้นสู่กว่าอัตราการไหลรั่วออกสูงสุด น้ำก็จะล้นถังได้
 

ทีนี้ลองมาพิจารณารูปที่ ๓ ถัดไปกันหน่อยดีไหนครับ คล้าย ๆ กับรูปก่อนหน้านี้ แต่มีถังสองใบที่เหมือนกัน โดยน้ำที่รั่วออกจากถังใบบนไหลลงสู่ถังใบล่างที่อยู่ต่ำกว่า (และไม่รั่ว) คำถามก็คือถังใบไหนจะมีน้ำเต็มก่อน

จากกรณีก่อนหน้า ถ้าอัตราการไหลเข้าของน้ำที่ไหลเข้าถังใบบนนั้น "ต่ำกว่า" อัตราการไหลรั่วออกสูงสุด เมื่อระดับน้ำในถังใบบนสูงถึงระดับหนึ่ง ระดับน้ำในถังก็จะคงที่ (ไม่เต็มถัง) เนื่องจากอัตราการไหลเข้าเท่ากับอัตราการไหลออก แต่ถังใบล่างนั้นไม่มีรูรั่วให้น้ำไหลออก ดังนั้นถังใบล่างก็จะมีน้ำเต็มจนล้น แต่ถังใบบนจะไม่มีทางเติมน้ำให้เต็ม
 

ประเด็นที่น่าสนใจก็คือ ถ้าอัตราการไหลเข้าของน้ำที่ไหลเข้าถังใบบนนั้น "สูงกว่า" อัตราการไหลรั่วออกสูงสุด ถังใบบนมีสิทธิที่จะมีน้ำเต็มถังจนล้นถังแน่ ถังใบล่างก็เช่นเดียวกัน คำถามก็คือถังใบไหนจะมีน้ำเต็มถังจนล้นก่อน
 

เพื่อที่จะตอบคำถามดังกล่าวผมก็เลยลองตั้งสมการดุลมวลสารของถังทั้งสองใบในรูปที่ ๒ ขึ้นมาเล่น ๆ ดังนี้ (เป็นกรณีที่ความสูงของระดับน้ำในถังที่ 2 ไม่ส่งผลต่ออัตราการไหลรั่วออกจากถังใบที่ 1)

เมื่อ A คือพื้นที่หน้าตัดของถังทั้งสองใบ (ให้เท่ากับ 0.05 และคงที่ตลอดความสูง) h₁ และ h₂ คือระดับความสูงของน้ำในถังใบที่ 1 และ 2 ตามลำดับ Q คืออัตราการไหลของน้ำเข้าถังใบที่ 1 g คือค่าความเร่งเนื่องจากแรงดึงดูดของโลก (9.81 m/s²) และ C คือค่าคงที่ของการไหลผ่านรู (ในที่นี้ให้เท่ากับ 0.1) สมมุติว่าถังมีความสูง 1 หน่วย ดังนั้นที่ระดังความสูง 1 หน่วยอัตราการไหลรั่วออกจากถังใบที่ 1 จะเท่ากับ 0.443 (คำนวจากเทอมขวาสุดในสมการของถังใบที่ 1 โดยให้ h₁ = 1)
 

ผมลองแก้สมการทั้งสองด้วยวิธี Explicit Euler บนโปรแกรม Spreadsheet ของ OpenOffice 4.1.3 โดยใช้ค่า step size ของการอินทริเกรต (∆t) เท่ากับ 0.005 ทำการคำนวณไปเรื่อย ๆ ถังใบใดมีค่า h ถึง 1.0 ก่อนก็แสดงว่าน้ำล้นถังใบนั้นก่อน การคำนวณโดยใช้ค่า Q เท่ากับ 0.5 และ 0.65 แสดงไว้ในรูปที่ ๔ และ ๕ ในหน้าถัดไป จะเห็นว่าที่ค่า Q เท่ากับ 0.5 (หรือต่ำกว่า) ถังใบที่ 2 จะมีระดับน้ำสูงถึง 1.0 หน่วยก่อน (จุดที่น้ำล้นถัง) แต่ที่ค่า Q เท่ากับ 0.65 (หรือสูงกว่า) ถังใบที่ 1 จะมีระดับน้ำสูงถึง 1.0 หน่วยก่อน
 

กรณีของการเชื่อมต่อที่ทำให้ระดับน้ำในถังใบที่ 2 ส่งผลต่ออัตราการไหลรั่วออกจากถังใบที่ 1 (เช่นในรูปที่ ๑) อัตราการรั่วไหลออกจากถังใบที่ 1 จะลดต่ำลงเมื่อระดับน้ำในถังใบที่ 2 สูงถึงระดับรูรั่วออก เพราะระดับความสูง h ที่เป็นแรงผลักดันให้น้ำไหลออกจากถังใบที่ 1 นั้นลดต่ำลง (มีค่าเท่ากับระดับผิวบนของน้ำในถังใบที่ 1 ลบด้วยระดับผิวบนของน้ำในถังใบที่ 2) โอกาสที่น้ำในถังใบที่ 1 จะเต็มก่อนก็จะเพิ่มมากไปอีก
 

ถึงตรงนี้ คำถามในรูปที่ ๑ นั้นควรตอบว่าอย่างไร ก็ขอให้ลองพิจารณากันเอาเองก็แล้วกันครับ :) :) :)