ผมก็เคยเจอกับปัญหาทำนองนี้นะ ตอนสอนวิชาเคมีให้กับนิสิตปี ๒ เนื้อหาก็เหมือนกับที่สอนในปีก่อนหน้า แต่นิสิตกลับบอกว่าไม่เข้าใจคำต่าง ๆ ที่อาจารย์พูด พอตรวจสอบก็พบว่ามีการเปลี่ยนแปลงเนื้อหาในระดับมัธยมปลาย มีการเปลี่ยนแปลงแนวปฏิบัติในการเรียกชื่อสารและการใช้หน่วยวัด
ตอนสอนวิชาการคำนวณเชิงตัวเลขให้กับนิสิตปี ๓ เรื่องแรก ๆ ที่สอนก็คือการแก้ปัญหาระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่มีจำนวนสมการ (n) เท่ากับจำนวนตัวแปร (n) (เมื่อ n อาจมีค่าเป็นสิบ เป็นร้อย เป็นพัน หรือมากกว่านั้นก็เป็นเรื่องปรกติ) ก่อนเริ่มสอนก็จะถามนิสิตเป็นประจำว่ายังจำวิธีการหาคำตอนที่เรียนตอนมัธยมปลายได้หรือไม่ ที่ใช้ Cofactor และ Minor ในการหาค่าดีเทอร์มิแนนต์ หรือที่ผลคูณเฉียงลงมีค่าเป็นบวก ส่วนผลคูณเฉียงขึ้นมีค่าเป็นลบ (กรณีของเมทริกซ์ขนาด 3 x 3) ซึ่งบางคนก็บอกว่าจำได้ บางคนก็บอกว่าจำไม่ได้ ซึ่งก็ไม่ได้ว่าอะไร และอาจจะเป็นการดีแล้วก็ได้ที่จำไม่ได้ เพราะการหาค่าดีเทอร์มิแนนต์แบบนั้นมันมีปัญหา มันไม่เหมาะกับเมทริซ์ขนาดใหญ่กว่า 3 x 3
คือถ้าให้ n เป็นจำนวนสมการ (หรือขนาดของเมทริกซ์ซึ่งเท่ากับ n x n) การหาค่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์เพียงเมทริกซ์ด้วยการใช้ Cofactor และ Minor จะมีจำนวนครั้งการคูณอยู่ที่ระดับประมาณ (n-1)(n!) (หมายเหตุ : ในเรื่องนี้เวลาพูดถึงการคูณก็จะนับรวมการหาเข้าไปด้วย เพราะถือว่าเป็นการคูณด้วยอินเวอร์ส และในทำนองเดียวกันเวลาพูดถึงการบวกก็จะรวมถึงการลบเข้าไปด้วย เพราะถือว่าเป็นการบวกด้วยอินเวอร์ส) และถ้าต้องการหาคำตอบของระบบสมการทั้งหมด จำนวนครั้งการคูณก็จะเพิ่มเป็น (n+1)(n-1)(n!) + n ครั้ง ซึ่งตรงนี้ลองไปกดเครื่องคิดเลขเองก็แล้วกันว่า สำหรับระบบ 10 สมการ 10 ตัวแปร จะมีจำนวนครั้งการคูณกี่ครั้ง
(ในการคำนวณเชิงตัวเลขที่เราเก็บเลขหลังจุดทศนิยมได้จำกัดจำนวน การคูณแต่ละครั้งจะมีการปัดเศษที่มาก ยิ่งมีการคูณมากครั้ง คำตอบที่ได้ก็จะมีสิทธิ์เพี้ยนไปจากคำตอบที่ถูกต้องมากขึ้น ดังนั้นเวลาที่เขาดูว่าเทคนิคนั้นจะรวดเร็วหรือมีโอกาศที่จะเกิดปัญหาหรือไม่ ก็จะดูกันที่จำนวนครั้งการคูณเป็นหลัก)
แล้วการหาค่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาดใหญ่ทำได้อย่างไร เทคนิคที่ใช้กันก็คือใช้การกำจัดของเกาส์ (Gauss elimination) เพื่อทำให้ซีกซ้ายล่างของเมทริกซ์มีค่าเป็นศูนย์ จากนั้นก็เอาตัวเลขในแนวทแยงมุมคูณกัน เพื่อให้เห็นภาพ ก็ขอให้ลองพิจารณากรณีของเมทริกซ์ขนาด 3 x 3 ข้างล่าง
ค่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ตัวซ้ายสุดคือค่าผลคูณของตัวเลขในแนวทแยงมุมของเมทริกซ์ตัวขวาสุดคือ (1)(-3)(1) ซึ่งเท่ากับ -3
จะเห็นว่าในระหว่างการคำนวณนั้น ตัวเลขที่อยู่ในตำแหน่งทแยงมุมจะทำหน้าที่เป็นตัวหาร ในทางปฏิบัตินั้นถ้าตัวตั้งมีขนาดที่ใหญ่กว่าตัวหารมาก จะทำให้ค่าความคลาดเคลื่อนจากการปัดเศษเพิ่มขึ้นได้อย่างรวดเร็ว ในทางปฏิบัตินั้นจึงมักจะมีการจัดเรียงสมการใหม่ เพื่อให้ตัวหารมีขนาดที่ใหญ่กว่าตัวตั้ง อย่างเช่นในตัวอย่างข้างต้นนั้น ถ้าเราสลับตำแหน่งแถวที่ 1 กับแถวที่ 2 ก่อนเริ่มการคำนวณ ผลการคำนวณก็จะเป็นดังนี้
ค่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ตัวซ้ายสุดคือค่าผลคูณของตัวเลขในแนวทแยงมุมของเมทริกซ์ตัวขวาสุดคือ (4)(0.75)(1) ซึ่งเท่ากับ 3
จะเห็นว่าขนาดของค่าดีเทอร์มิแนนต์ยังคงเท่าเดิม แต่เครื่องหมายเปลี่ยนเป็นตรงข้าม คือแต่ละครั้งที่มีการสลับตำแหน่งแถว ค่าดีเทอร์มิแนนต์ที่คำนวณได้จะมีเครื่องหมายเปลี่ยนเป็นตรงข้ามกัน
