จากสมการสำหรับคำนวณหา
orthogonal function
ในช่วง [0,
1] สำหรับฟังก์ชันพนุนามที่เป็นฟังก์ชันคู่ข้างล่าง .....
แสดงบทความที่มีป้ายกำกับ ฟังก์ชันพหุนาม แสดงบทความทั้งหมด
แสดงบทความที่มีป้ายกำกับ ฟังก์ชันพหุนาม แสดงบทความทั้งหมด
วันจันทร์ที่ 27 เมษายน พ.ศ. 2563
วันพุธที่ 22 เมษายน พ.ศ. 2563
การคำนวณเชิงตัวเลข (๓๗) การแก้สมการอนุพันธ์ด้วยฟังก์ชันพหุนาม (๑๒) MO Memoir : Wednesday 21 April 2563
จากสมการสำหรับคำนวณหา
orthogonal function
ในช่วง [0,
1] สำหรับฟังก์ชันพนุนามที่เป็นฟังก์ชันคู่ข้างล่าง ...
วันอังคารที่ 21 เมษายน พ.ศ. 2563
การคำนวณเชิงตัวเลข (๓๖) การแก้สมการอนุพันธ์ด้วยฟังก์ชันพหุนาม (๑๑) MO Memoir : Tuesday 21 April 2563
สมการสำหรับคำนวณหา
orthogonal function
ในช่วง [0,
1] สำหรับฟังก์ชันพนุนามที่เป็นฟังก์ชันคู่
ในหนังสือของ Finlayson
ได้ให้สมการต่อไปนี้ไว้
วันเสาร์ที่ 11 เมษายน พ.ศ. 2563
การคำนวณเชิงตัวเลข (๓๔) การแก้สมการอนุพันธ์ด้วยฟังก์ชันพหุนาม (๙) MO Memoir : Saturday 11 April 2563
ในการทำปฏิกิริยาที่มีการใช้ตัวเร่งปฏิกิริยาวิวิธพันธ์บนตัวรองรับ
(supported
heterogeneous catalyst) นั้น
สารตั้งต้นจะแพร่จากเฟส
bulk fluid
ที่ล้อมรอบอนุภาคตัวเร่งปฏิกิริยา
เข้าไปในรูพรุนของตัวรองรับเพื่อเข้าไปเกิดปฏิกิริยาบน
active species
ที่เคลือบอยู่บนพื้นผิวรูพรุนของตัวรองรับ
(catalyst support)
เกิดเป็นผลิตภัณฑ์ที่จะแพร่สวนทางออกมา
ดังนั้นเมื่อสารตั้งต้นแพร่ลึกเข้าไปในรูพรุนเรื่อย
ๆ ความเข้มข้นของสารตั้งต้นก็จะลดต่ำลง
ส่วนจะลดต่ำลงมากแค่ไหนก็ขึ้นอยู่กับอัตราส่วนระหว่างอัตราเร็วในการแพร่ต่ออัตราเร็วในการเกิดปฏิกิริยา
ถ้าอัตราเร็วในการแพร่นั้นสูงเมื่อเทียบกับอัตราการเกิดปฏิกิริยา
ความเข้มข้นของสารตั้งต้นก็จะลดลงไม่มาก
แต่ถ้าอัตราเร็วในการเกิดปฏิกิริยานั้นสูงมากจนสารตั้งต้นแพร่เข้าไปไม่ทัน
ความเข้มข้นของสารตั้งต้นก็อาจจะลดลงเป็นศูนย์อย่างรวดเร็ว
และเราก็ได้นำความรู้ตรงนี้มาใช้ในการออกแบบตัวเร่งปฏิกิริยาว่า
ในการเคลือบ active
species เข้าไปในรูพรุนของตัวรองรับนั้น
จำเป็นหรือไม่ที่ต้องให้
active species
มีอยู่ตลอดทั้งความลึกของรูพรุน
เพราะถ้าปฏิกิริยาเกิดเร็วมากจนสารตั้งต้นหมดไปก่อนที่จะสามารถแพร่เข้าไปได้ลึก
active species
ที่อยู่ลึกเข้าไปในรูพรุนก็ไม่ได้ใช้ประโยชน์
การมี active
species ที่อยู่ลึกเข้าไปในรูพรุนก็จะเป็นการสูญเปล่า
(เพราะใส่มันเข้าไป
แต่ใช้ประโยชน์ไม่ได้)
ในการศึกษาด้านตัวเร่งปฏิกิริยาวิวิธพันธ์เรื่องเหล่านี้อยู่ในหัวข้อเรื่อง
effectiveness factor
วันนี้เราจะมาลองคำนวณหาโปรไฟล์การเปลี่ยนแปลงความเข้มข้นสารตั้งต้นในรูพรุนของตัวเร่งปฏิกิริยา
โดยเริ่มจากแบบจำลองอย่างง่ายก่อน
โดยสมมุติว่าเรามีตัวเร่งปฏิกิริยาที่มีรูปร่างเป็นแผ่นแบน
(slab) ที่มีความหนา
2
หน่วยและมีความกว้างยาวเป็นอนันต์
(อันนี้เป็นข้อสมมุติเพื่อให้โจทย์ปัญหาเป็นเพียงแค่
1
มิติคือเฉพาะในทิศทางความหนาเท่านั้น)
กำหนดให้ตำแหน่งกึ่งกลางคือตำแหน่ง
x = 0
และขอบด้านซ้ายและด้านขวาคือ
x = -1 และ
x = 1 ตามลำดับ
สิ่งที่เราคาดการณ์ได้ก็คือโปรไฟล์ความเข้มข้นควรมีความสมมาตร
ณ ตำแหน่งแกนกลาง (x
= 0) ดังแสดงในรูปที่ ๑
โดยความเข้มข้นที่ขอบนอกจะสูงสุด
และจะลดลงต่ำสุดที่แนวเส้นกึ่งกลาง
วันจันทร์ที่ 6 เมษายน พ.ศ. 2563
การคำนวณเชิงตัวเลข (๓๓) การแก้สมการอนุพันธ์ด้วยฟังก์ชันพหุนาม (๘) MO Memoir : Monday 6 April 2563
จากที่ได้เกริ่นไว้เมื่อวันเสารที่ผ่านมา
วันนี้จะเป็นการคำนวณหา
orthogonal
function ในช่วง
[0, 1]
สำหรับฟังก์ชันพนุนามที่เป็นฟังก์ชันคู่ในกรณีของพิกัดทรงกลม
(Spherical
coordinate) โดยเริ่มจากสมการที่
(1)
ข้างล่าง
วันเสาร์ที่ 4 เมษายน พ.ศ. 2563
การคำนวณเชิงตัวเลข (๓๒) การแก้สมการอนุพันธ์ด้วยฟังก์ชันพหุนาม (๗) MO Memoir : Saturday 4 April 2563
จากตอนที่แล้ว
(เมื่อวันพฤหัสบดีที่
๒ เมษายน)
เราได้ทดลองคำนวณหา
orthogonal
function ในช่วง
[0, 1]
สำหรับฟังก์ชันพนุนามที่เป็นฟังก์ชันคู่ในกรณีของพิกัดฉาก
(Cartesian
coordinate) เอาไว้
มาวันนี้จะทดลองหากรณีของพิกัดทรงกระบอก
(Cylindrical
coordinate) ดูบ้าง
เริ่มจากสมการที่ (1)
ข้างล่าง
วันพฤหัสบดีที่ 2 เมษายน พ.ศ. 2563
การคำนวณเชิงตัวเลข (๓๑) การแก้สมการอนุพันธ์ด้วยฟังก์ชันพหุนาม (๖) MO Memoir : Thursday 2 April 2563
ตรงนี้ขอบันทึกไว้นิดนึง
เนื้อหาในบทความชุดนี้นับตั้งแต่ตอนที่
๑ นั้นอิงมาจากตัวอย่างในหนังสือ
"Nonlinear
Analysis in Chemical Engineering" ที่เขียนโดย
Prof. Bruce A.
Finlayson เล่มที่ผมมีนั้นเป็นฉบับพิมพ์เมื่อค.ศ.
๑๙๘๐
เหตุผลที่มีเล่มนี้ก็เพราะต้องใช้ในการทำวิทยานิพนธ์ตอนเรียนปริญญาเอก
สมัยเรียนปริญญาตรีได้เรียนเรื่องการแก้ปัญหาสมการอนุพันธ์แยกออกมาเป็นวิชาหนึ่งต่างหาก
(๓
หน่วยกิต)
และเทคนิคหนึ่งในการแก้ปัญหาที่ได้เรียนก็คือการสมมุติว่าคำตอบนั้นประมาณค่าได้ด้วยอนุกรมอนันต์
(Infinite series)
สมัยที่เรียนก็ท่องจำกันแต่ว่าถ้าสมการอนุพันธ์มีหน้าตาแบบนี้
ก็ให้ใช้อนุกรมตัวนี้ในการแก้โจทย์
กว่าจะเข้าใจว่าทำไปต้องเป็นเช่นนั้นก็ผ่านไปหลายปีเหมือนกัน
กล่าวคืออนุกรมอนันต์แต่ละอนุกรมนั้นมันมีลักษณะเฉพาะตัวของมัน
ถ้าเราเลือกอนุกรมอนันต์ที่มีพฤติกรรมใกล้เคียงกับพฤติกรรมของคำตอบของโจทย์ของเรา
การลู่เข้าหาคำตอบก็จะรวดเร็วขึ้น
กล่าวคือการได้มาซึ่งตัวเลขค่า
y
หลังจากแทนค่า x
เข้าไปในอนุกรมอนันต์ที่เป็นตำตอบนั้นนั้นไม่จำเป็นต้องใช้จำนวนพจน์มาก
ลองดูตัวอย่างนี้ได้ใน
Memoir ปีที่
๗ ฉบับที่ ๘๘๗ วันอาทิตย์ที่
๙ พฤศจิกายน ๒๕๕๗ เรื่อง
"ฟังก์ชันแกมมา (Gamma function) และฟังก์ชันเบสเซล (Bessel function)"
คำตอบของสมการที่ใช้ในงานทางวิศวกรรมเคมีนั้นจำนวนไม่น้อยเป็นคำตอบที่มีความสมมาตร
กล่าวคือ ณ ตำแหน่ง x
ใด ๆ
ที่ห่างออกไปจากตำแหน่งจุดสมมาตรไม่ว่าจะเป็นทางซ้ายหรือขวาเป็นระยะที่เท่ากัน
จะมีค่า y
เท่ากัน
ตัวอย่างของโจทย์ประเภทนี้ได้แก่การเปลี่ยนแปลงอุณหภูมิและความเข้มข้นในแนวรัศมีของ
tubular reactor
(ในกรณีของการทำงานแบบ
nonisothermal
nonadiabatic) ที่มีความสมมาตรรอบแนวแกนกลางของ
reactor
การเปลี่ยนแปลงความเข้มข้นของสารในอนุภาคตัวเร่งปฏิกิริยาที่เป็นทรงกลมที่มีความสมมาตรรอบจุดศูนย์กลางของทรงกลม
เป็นต้น
ดังนั้นจะเป็นการดีกว่าถ้าหากเราใช้ฟังก์ชันที่มีความสมมาตรมาเป็นฟังก์ชันที่ใช้ประมาณค่าคำตอบ
ฟังก์ชันพหุนามนั้น
ถ้ากำลังสูงสุดเป็นเลขคี่
(odd number)
ปลายทั้งสองข้าง (คือเมื่อ
x
เข้าหา ∞
หรือ -∞
) จะชี้ไปคนละทางกัน
แต่ถ้ากำลังสูงสุดเป็นเลขคู่
(even number)
ปลายทั้งสองข้างจะชี้ไปคนละทางกัน
(คือข้างหนึ่ง
y
จะเข้าหา ∞
ในขณะที่อีกข้างหนึ่งจะเข้าหา
-∞
) และถ้าเลขยกกำลังนั้นมีแต่เลขคู่
ฟังก์ชันนั้นก็จะมีความสมมาตรรอบแกนสมมาตร
(คือห่างจากตำแหน่ง
x
ที่เป็นจุดสมมาตรไปทางซ้ายและขวาเป็นระยะ
x
ที่เท่ากัน จะมีค่า y
เท่ากัน)
และเราก็สามารถใช้ประโยชน์ตรงจุดนี้ในการนำมาสร้าง
orthogonal function
ที่มีความสมมาตรเพื่อใช้หาคำตอบของปัญหาที่มีความสมมาตร
ในหนังสือของ
Finlayson หน้า
๙๔ ได้ให้สมการสำหรับคำนวณหา
orthogonal function
ในช่วง [0,
1] สำหรับฟังก์ชันพนุนามที่เป็นฟังก์ชันคู่ไว้ดังนี้
วันพุธที่ 18 มีนาคม พ.ศ. 2563
การคำนวณเชิงตัวเลข (๓๐) การแก้สมการอนุพันธ์ด้วยฟังก์ชันพหุนาม (๕) MO Memoir : Wednesday 18 March 2563
หลังจากทิ้งเรื่องนี้ไป
๕ ปีเศษ (จากธันวาคม
๒๕๕๗)
ก็ได้เวลากลับมาเขียนเรื่องนี้ต่อ
คือ Memoir
ฉบับนี้เป็นตอนต่อจากฉบับก่อนหน้านี้ดังนี้
ปีที่
๒ ฉบับที่ ๑๗๔ วันอาทิตย์ที่
๒๐ มิถุนายน ๒๕๕๓ เรื่อง
"การคำนวณเชิงตัวเลข (๑) การแก้สมการอนุพันธ์ด้วยฟังก์ชันพหุนาม"
ปีที่
๒ ฉบับที่ ๑๗๕ วันจันทร์ที่
๒๑ มิถุนายน ๒๕๕๓ เรื่อง
"การคำนวณเชิงตัวเลข (๒) การแก้สมการอนุพันธ์ด้วยฟังก์ชันพหุนาม"
ปีที่
๗ ฉบับที่ ๘๙๖ วันพฤหัสบดีที่
๒๗ พฤศจิกายน ๒๕๕๗ เรื่อง
"การคำนวณเชิงตัวเลข (๕) การแก้สมการอนุพันธ์ด้วยฟังก์ชันพหุนาม"
ปีที่
๗ ฉบับที่ ๘๙๙ วันพุธที่ ๓
ธันวาคม ๒๕๕๗ เรื่อง
"การคำนวณเชิงตัวเลข (๖) การแก้สมการอนุพันธ์ด้วยฟังก์ชันพหุนาม"
ทั้ง
๔ เรื่องข้างต้นถูกนำไปรวมไว้ใน
"MO Memoir รวมบทความชุดที่ ๑๖ วิศวกรรมเคมีภาคคำนวณ"
ที่สามารถดาวน์โหลดไฟล์
pdf ได้จากหน้า
blog
ในตอนที่
๑ (ฉบับที่
๑๗๔)
และตอนที่
๒ (ฉบับที่
๑๗๕)
ของเรื่องนี้
ได้แสดงให้เห็นว่าการเลือกจุดที่กำหนดให้ค่า
residual
เป็นศูนย์นั้น
(จุดที่เรียกว่า
collocation
point) ส่งผลต่อความถูกต้องของคำตอบที่ได้
แต่โดยหลักก็คือตำแหน่งของจุดที่เลือกนั้นควรเป็นบริเวณที่คำตอบมีการเปลี่ยนแปลงรวดเร็วเมื่อเทียบกับบริเวณอื่น
แต่เนื่องจากในหลายกรณีเรามักไม่รู้ว่าคำตอบที่ได้นั้นจะมีการเปลี่ยนแปลงอย่างใด
จึงได้มีการนำเสนอว่าถ้าเราประมาณคำตอบด้วย
orthogonal
polynomial จุดที่เลือกก็ควรเป็น
root
(จุดที่ค่าฟังก์ชันเป็นศูนย์)
ของ
orthogonal
polynomial และในตอนที่
๔ ของเรื่องนี้ (ฉบับที่
๘๙๙)
ก็ได้ทิ้งท้ายว่าจะหาเวลามาเขียนเรื่องนี้ต่อ
แต่ไม่รู้เหมือนกันว่าทำไมถึงลืมเรื่องนี้ไปได้
วันนี้ก็เลยขอมาเขียนต่อ
โดยขอเป็นเรื่อง "Orthogonal
function" หรือที่มีคนแปลเป็นไทยว่า
"ฟังก์ชันเชิงตั้งฉากก็แล้วกัน"
ก็แล้วกัน
วันอาทิตย์ที่ 2 ธันวาคม พ.ศ. 2561
การคำนวณค่าฟังก์ชันพหุนาม (การทำวิทยานิพนธ์ภาคปฏิบัติ ตอนที่ ๙๖) MO Memoir : Sunday 2 December 2561
"ผล
simulation
นั้นมันแต่งได้"
ผมเคยเอ่ยข้อความนี้ไว้กับหลายคนที่มาปรึกษาผมเกี่ยวกับงาน
simulation
ในเรื่อง
"เมื่อ
1
ไม่เท่ากับ
0.1
x 10" นั้น
ได้แสดงให้เห็นว่าเมื่อเราเปลี่ยนจากเลขฐาน
10
ไปเป็นเลขฐาน
2
เพื่อทำการคำนวณบนเครื่องดิจิตอลคอมพิวเตอร์นั้นมันก่อให้เกิดความคลาดเคลื่อนในการแปลงตัวเลขอย่างไร
และในเรื่อง "จำนวนที่น้อยที่สุดที่เมื่อบวกกับ
1
แล้วได้ผลลัพธ์ที่ไม่ใช่
1
นั้น"
ก็ได้แสดงให้เห็นว่าสิ่งที่ในทางคณิตศาสตร์ถือว่าเท่าเทียมกันนั้น
แต่พอมาคำนวณด้วยระบบเลขทศนิยมมันอาจมีปัญหาในบางช่วงของค่าตัวเลขได้
มาวันนี้จะขอยกตัวอย่างอีกตัวหนึ่งที่ในทางคณิตศาสตร์แล้วสมการมันต้องเท่าเทียมกัน
(และไม่ควรให้ผลลัพธ์ออกมาแตกต่างกันด้วย)
แต่พอคิดเป็นตัวเลขออกมาปรากฏว่ามันให้ผลที่แตกต่างกัน
คือการคำนวณค่าฟังก์ชันพนุนามหรือ
polynomial
ประเด็นที่สำคัญคือปัญหานี้มันไม่ได้เกิดกับทุกช่วงค่าของสมการ
แต่มันเกิดเฉพาะตรงบางตำแหน่งเท่านั้น
ดังเช่นตัวอย่างที่นำมาแสดงในวันนี้ดัดแปลงมากจากหนังสือของ
J.M.Ortega
and W.G. Poole,Jr.,"An introduction to numerical methods for
differential equations", Pitman Publishing Limited, London
(1991)
กำหนดฟังก์ชันพหุนามที่เขียนในรูปคำสั่งยกกำลัง
f(x)
= x6 - 6x5 + 15x4 - 20x3
+ 15x2 - 6x + 1 (1)
สามารถเขียนใหม่ได้ในรูป
f(x)
= x(x(x(x(x(x - 6) + 15) - 20) + 15) - 6) + 1 (2)
ซึ่งในทางในทางทฤษฎีแล้วทั้งสองรูปแบบต้องให้ค่าของฟังก์ชันที่เท่ากัน
และให้ค่าเป็นศูนย์ที่ x
= 1 และให้ค่าเป็นบวกในบริเวณรอบข้าง
ในการคำนวณเราสามารถเขียนสมการที่
(1)
ได้ในรูป
f(x)
= x^6 + 6*x^5 + 15*x^4 - 20*x^3 + 15*x^2 - 6*x + 1
(ขอเรียกว่ารูปแบบยกกำลัง)
หรือ f(x)
= x*x*x*x*x*x + 6*x*x*x*x*x + 15*x*x*x*x - 20*x*x*x + 15*x*x - 6*x
+ 1 (ขอเรียกว่ารูปแบบผลคูณ)
ส่วนสมการที่
(2)
สามารถเขียนคำสั่งเพื่อการคำนวณได้ในรูป
f(x)
= x*(x*(x*(x*(x*(x - 6) + 15) - 20) + 15) - 6) + 1
(ขอเรียกว่ารูปแบบวงเล็บ)
ผมทำการคำนวณค่า
f(x)
ทั้ง
3
รูปแบบด้วยโปรแกรม
spread
sheet ของ
OpenOffice
4.1.5 บนเครื่องคอมพิวเตอร์
32
บิท
ในช่วง x
จาก
0.996
ถึง
1.004
โดยใช้รูปแบบการกำหนดค่า
x
ที่แตกต่างกันดังนี้
แบบที่
๑ ทำการป้อนค่า x
ทีละค่าเข้าไปในคอลัมน์ด้านซ้ายโดยตรง
ผลที่ได้แสดงไว้ในตารางที่
๑ และรูปที่ ๑
แบบที่
๒ ป้อนค่า x
= 0.996 เข้าไปในเซลล์ช่องบนสุด
จากนั้นกำหนดให้ค่า x
ของเซลล์ช่องที่อยู่ถ้ดลงมามีค่าเท่ากับค่า
x
ของเซลล์ช่องที่อยู่ข้างบนบวกด้วย
0.0001
ผลที่ได้แสดงไว้ในตารางที่
๒ และรูปที่ ๒ และ
แบบที่
๓ กำหนดค่า 9960
ให้เป็นจำนวนเต็ม
(integer)
เข้าไปในเซลล์ช่องบนสุด
จากนั้นกำหนดให้ของเซลล์ช่องที่อยู่ถ้ดลงมามีค่าเท่ากับค่าของเซลล์ช่องที่อยู่ข้างบนบวกด้วย
1
(ไล่ลงมาจนถง
10004)
ซึ่งจะทำให้ทุกค่านั้นเป็นเลขจำนวนเต็ม
จากนั้นจึงนำเลขจำนวนเต็มที่ได้นั้นมาแปลงเป็นค่า
x
ด้วยการหารด้วย
10000
ผลที่ได้แสดงไว้ในตารางที่
๓ และรูปที่ ๓
ลองพิจารณาผลการคำนวณที่นำมาแสดงให้ดูเอาเองก่อนนะครับ
แล้วก็อย่าพึ่งตกใจนะครับถ้าเห็นว่าผลการคำนวณมันออกมาไมเหมือนกัน
ตารางที่
๑ ผลการคำนวณเมื่อค่า x
ในคอลัมน์ด้านซ้ายได้มาจากการป้อนตัวเลขโดยตรง
x
|
f(x)
ในรูปยกกำลัง
|
f(x)
ในรูปวงเล็บ
|
f(x)
ในรูปผลคูณ
|
0.996
|
6.217248937900880E-15
|
5.218048215738240E-15
|
0.000000000000000E+00
|
0.9961
|
7.993605777301130E-15
|
4.329869796038110E-15
|
4.440892098500630E-15
|
0.9962
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9963
|
0.000000000000000E+00
|
4.107825191113080E-15
|
5.329070518200750E-15
|
0.9964
|
3.552713678800500E-15
|
4.662936703425660E-15
|
0.000000000000000E+00
|
0.9965
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
7.993605777301130E-15
|
0.9966
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9967
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
3.552713678800500E-15
|
0.9968
|
3.552713678800500E-15
|
0.000000000000000E+00
|
3.552713678800500E-15
|
0.9969
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.997
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9971
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
4.440892098500630E-15
|
0.9972
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
5.329070518200750E-15
|
0.9973
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
5.329070518200750E-15
|
0.9974
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
-5.329070518200750E-15
|
0.9975
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
-6.217248937900880E-15
|
0.9976
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9977
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9978
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9979
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
6.217248937900880E-15
|
0.998
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9981
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
-5.329070518200750E-15
|
0.9982
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9983
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9984
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9985
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
-4.440892098500630E-15
|
0.9986
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9987
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9988
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9989
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
-4.440892098500630E-15
|
0.999
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9991
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9992
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9993
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
3.552713678800500E-15
|
0.9994
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9995
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
3.552713678800500E-15
|
0.9996
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9997
|
3.552713678800500E-15
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9998
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
-4.440892098500630E-15
|
0.9999
|
3.552713678800500E-15
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0001
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0002
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
4.440892098500630E-15
|
1.0003
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
3.552713678800500E-15
|
1.0004
|
-5.329070518200750E-15
|
0.000000000000000E+00
|
5.329070518200750E-15
|
1.0005
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0006
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0007
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0008
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0009
|
-5.329070518200750E-15
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.001
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0011
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0012
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
-5.329070518200750E-15
|
1.0013
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0014
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0015
|
5.329070518200750E-15
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0016
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0017
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
6.217248937900880E-15
|
1.0018
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0019
|
3.552713678800500E-15
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.002
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0021
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0022
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
3.552713678800500E-15
|
1.0023
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0024
|
3.552713678800500E-15
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0025
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
6.217248937900880E-15
|
1.0026
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0027
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0028
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
3.552713678800500E-15
|
1.0029
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.003
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0031
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
5.329070518200750E-15
|
1.0032
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0033
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0034
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0035
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
3.552713678800500E-15
|
1.0036
|
6.217248937900880E-15
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0037
|
5.329070518200750E-15
|
0.000000000000000E+00
|
3.552713678800500E-15
|
1.0038
|
5.329070518200750E-15
|
4.329869796038110E-15
|
0.000000000000000E+00
|
1.0039
|
3.552713678800500E-15
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.004
|
6.217248937900880E-15
|
5.329070518200750E-15
|
6.217248937900880E-15
|
รูปที่
๑ กราฟของข้อมูลในตารางที่
๑
ตารางที่
๒ ผลการคำนวณเมื่อค่า x
ในคอลัมน์ด้านซ้ายได้มาจากการบวกตัวเลขที่อยู่ในเซลล์ด้านบนด้วย
0.0001
x
|
f(x)
ในรูปยกกำลัง
|
f(x)
ในรูปวงเล็บ
|
f(x)
ในรูปผลคูณ
|
0.996
|
6.217248937900880E-15
|
5.218048215738240E-15
|
0.000000000000000E+00
|
0.9961
|
7.105427357601000E-15
|
0.000000000000000E+00
|
3.552713678800500E-15
|
0.9962
|
0.000000000000000E+00
|
5.662137425588300E-15
|
0.000000000000000E+00
|
0.9963
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9964
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
6.217248937900880E-15
|
0.9965
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
5.329070518200750E-15
|
0.9966
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9967
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9968
|
6.217248937900880E-15
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9969
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.997
|
3.552713678800500E-15
|
0.000000000000000E+00
|
3.552713678800500E-15
|
0.9971
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9972
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
4.440892098500630E-15
|
0.9973
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
3.552713678800500E-15
|
0.9974
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9975
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9976
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
-4.440892098500630E-15
|
0.9977
|
3.552713678800500E-15
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9978
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9979
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
3.552713678800500E-15
|
0.998
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9981
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9982
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9983
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9984
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9985
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9986
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
3.552713678800500E-15
|
0.9987
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9988
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9989
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.999
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
3.552713678800500E-15
|
0.9991
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9992
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9993
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9994
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9995
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9996
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
4.440892098500630E-15
|
0.9997
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
3.552713678800500E-15
|
0.9998
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9999
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
-7.993605777301130E-15
|
1.0001
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0002
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0003
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0004
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
4.440892098500630E-15
|
1.0005
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
3.552713678800500E-15
|
1.0006
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0007
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0008
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0009
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.001
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0011
|
3.552713678800500E-15
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0012
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
4.440892098500630E-15
|
1.0013
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0014
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0015
|
3.552713678800500E-15
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0016
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0017
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0018
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0019
|
3.552713678800500E-15
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.002
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
6.217248937900880E-15
|
1.0021
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0022
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0023
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0024
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0025
|
3.552713678800500E-15
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0026
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0027
|
3.552713678800500E-15
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0028
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0029
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
5.329070518200750E-15
|
1.003
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0031
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0032
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0033
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0034
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0035
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
3.552713678800500E-15
|
1.0036
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0037
|
7.105427357601000E-15
|
0.000000000000000E+00
|
8.881784197001250E-15
|
1.0038
|
5.329070518200750E-15
|
4.329869796038110E-15
|
7.105427357601000E-15
|
1.0039
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.004
|
0.000000000000000E+00
|
5.329070518200750E-15
|
0.000000000000000E+00
|
รูปที่
๒ กราฟของข้อมูลในตารางที่
๒
ตารางที่
๓ ผลการคำนวณเมื่อค่า x
ในคอลัมน์ด้านซ้ายได้มาจากการ
9960
ให้เป็นจำนวนเต็มก่อน
จากนั้นจึงค่อยหารด้วย
10000
ส่วนค่า
x
ในช่องถัดลงมาก็ได้มาจากการนำค่า
9960
+ 1 (คำนวณในรูปจำนวนเต็ม)
แล้วจึงหารด้วย
10000
และทำอย่างนี้ลงมาเรื่อย
ๆ
x
|
f(x)
ในรูปยกกำลัง
|
f(x)
ในรูปวงเล็บ
|
f(x)
ในรูปผลคูณ
|
0.996
|
6.217248937900880E-15
|
5.218048215738240E-15
|
0.000000000000000E+00
|
0.9961
|
7.105427357601000E-15
|
0.000000000000000E+00
|
3.552713678800500E-15
|
0.9962
|
0.000000000000000E+00
|
5.662137425588300E-15
|
0.000000000000000E+00
|
0.9963
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9964
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
6.217248937900880E-15
|
0.9965
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
7.993605777301130E-15
|
0.9966
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9967
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
3.552713678800500E-15
|
0.9968
|
3.552713678800500E-15
|
0.000000000000000E+00
|
3.552713678800500E-15
|
0.9969
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.997
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9971
|
3.552713678800500E-15
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9972
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
3.552713678800500E-15
|
0.9973
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9974
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9975
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
-6.217248937900880E-15
|
0.9976
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9977
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9978
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9979
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
6.217248937900880E-15
|
0.998
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9981
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
-5.329070518200750E-15
|
0.9982
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9983
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9984
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9985
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
-4.440892098500630E-15
|
0.9986
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9987
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9988
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9989
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
-4.440892098500630E-15
|
0.999
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9991
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9992
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9993
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9994
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9995
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
3.552713678800500E-15
|
0.9996
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9997
|
3.552713678800500E-15
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.9998
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
-4.440892098500630E-15
|
0.9999
|
3.552713678800500E-15
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0001
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0002
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
4.440892098500630E-15
|
1.0003
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
3.552713678800500E-15
|
1.0004
|
-5.329070518200750E-15
|
0.000000000000000E+00
|
5.329070518200750E-15
|
1.0005
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0006
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0007
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0008
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0009
|
-5.329070518200750E-15
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.001
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0011
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0012
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
-5.329070518200750E-15
|
1.0013
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0014
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0015
|
5.329070518200750E-15
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0016
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0017
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
6.217248937900880E-15
|
1.0018
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0019
|
3.552713678800500E-15
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.002
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0021
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0022
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
3.552713678800500E-15
|
1.0023
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0024
|
3.552713678800500E-15
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0025
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
6.217248937900880E-15
|
1.0026
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0027
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0028
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
3.552713678800500E-15
|
1.0029
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.003
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0031
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
5.329070518200750E-15
|
1.0032
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0033
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0034
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0035
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
3.552713678800500E-15
|
1.0036
|
6.217248937900880E-15
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.0037
|
5.329070518200750E-15
|
0.000000000000000E+00
|
3.552713678800500E-15
|
1.0038
|
5.329070518200750E-15
|
4.329869796038110E-15
|
0.000000000000000E+00
|
1.0039
|
3.552713678800500E-15
|
0.000000000000000E+00
|
0.000000000000000E+00
|
1.004
|
6.217248937900880E-15
|
5.329070518200750E-15
|
6.217248937900880E-15
|
รูปที่
๓ กราฟของข้อมูลในตารางที่
๓
สมมุติว่าในการคำนวณนั้นเราเก็บตัวเลขในรูปแบบ
0.dddd...ddd
x 10ab โดยมีจำนวนจุดทศนิยม
(d)
16 ตำแหน่ง
ถ้าเราเอาตัวเลขดังกล่าวสองจำนวนมาบวกเข้าด้วยกัน
ผลลัพธ์ที่ได้ก็อาจยังเป็นเลขที่มีจุดทศนิยม
16
ตำแหน่งเช่นเดิม
หรืออาจเป็นเลขที่มีจุดทศนิยม
17
ตำแหน่ง
แต่ด้วยการที่เราเก็บจุดทศนิยมได้เพียงแค่
16
ตำแหน่ง
ดังนั้นในกรณีหลังนี้เราจำเป็นต้องมีการตัดจุดทศนิยมตำแหน่งสุดท้ายออกไป
1
ตำแหน่ง
แต่ถ้าเรานำเอาตัวเลขดังกล่าวสองจำนวนมาคูณกัน
ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นเลขทศนิยม
32
ตำแหน่ง
แต่ด้วยการที่เราเก็บจุดทศนิยมได้เพียงแค่
16
ตำแหน่ง
ดังนั้นในกรณีนี้เราจำเป็นต้องตัดจุดทศนิยม
16
ตำแหน่งท้ายออกไป
ซึ่งถ้าเทียบกับการบวกแล้วจะเห็นได้ชัดว่าการคูณเพียงแค่ครั้งเดียวมีการปัดเศษ
(ตัวที่ทำให้เกิดความคลาดเคลื่อนในการคำนวณ)
มากกว่าการบวกมาก
ดังนั้นถ้ามีการคูณมากครั้งเท่าใด
ค่าสะสมของเศษที่ถูกปัดออกไปก็จะมีมากขึ้น
โอกาสที่คำตอบที่ได้จะเพี้ยนออกไปจากคำตอบที่ถูกต้องก็จะมีมากขึ้นตามไปด้วย
(อันนี้ยังไม่รวมถึงการที่การคูณใช้เวลาในการคำนวณที่นานกว่าการบวกด้วย)
ด้วยเหตุนี้เวลาที่ทำการพิจารณาประสิทธิภาพของอัลกอริทึม
เขาจึงมุ่งเน้นไปที่จำนวนครั้งที่ทำการคูณ
เพราะมันส่งผลต่อเวลาที่ใช้ในการคำนวณและความคลาดเคลื่อนของผลการคำนวณที่ได้
ในตัวอย่างที่ยกมานี้บางคนอาจจะแย้งว่าความแตกต่างนั้นมีน้อยมาก
เพียงแค่ที่ระดับ 10-15
ซึ่งไม่น่าที่จะส่งผลอะไรในการนำตัวเลขไปใช้งาน
แต่ตัวอย่างที่ยกมานี้แสดงให้เห็นถึงความคลาดเคลื่อนที่เกิดขึ้นจากการคำนวณค่าฟังก์ชันเพียงแค่แค่ครั้งเดียวเท่านั้น
แต่ในงาน simulation
นั้นมีจำนวนครั้งการคำนวณที่สูงกว่ามาก
หรือในการแก้ปัญหาระบบสมการพีชคณิตที่เมทริกซ์มีสภาวะเลว
(ill-conditioned)
นั้น
ความคลาดเคลื่อนเพียงเล็กน้อยแค่นี้ที่เกิดขึ้นในการคำนวณแต่ละครั้ง
สามารถส่งผลกระทบที่มีนัยสำคัญมากต่อตำตอบที่คำนวณได้
และในปัญหาบางแบบเช่นการหาจุดที่กราฟตัดแกน
x
(root finding) หรือจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน
(optimisation)
เวลาที่เจอกับฟังก์ชันแบบนี้
(กราฟค่อนข้างจะเรียบแบน)
จะพบว่าค่าตำแหน่ง
x
ที่เป็นคำตอบนั้นมีได้หลายค่าและอยู่ในช่วงกว้าง
โดยที่ค่า f(x)
นั้นอยู่ในระดับเดียวกัน
ทำให้เกิดปัญหาได้ว่าค่า
x
ที่ให้ค่า
f(x)
ต่ำสุดที่ได้มานั้นเป็นค่าที่ถูกต้องหรือไม่
หรือเป็นเพราะผลจากการปัดเศษ
ซึ่งสำหรับคนที่เขียนอัลกอริทึมคำนวณเองสามารถทดสอบได้ด้วยการเปลี่ยนจุดเริ่มต้นการหาคำนวณให้แตกต่างออกไป
แล้วดูว่าคำตอบที่คำนวณได้นั้นกลับมายังค่าเดิมหรือไม่
จะช่วยบ่งบอกถึงปัญหาดังกล่าวได้
ตารางที่
๔ และรูปที่ ๔
เป็นการคำนวณค่าฟังก์ชันพหุนามที่เขียนในรูปคำสั่งยกกำลัง
f(x)
= x6 - 6x5 + 15x4 - 20x3
+ 15x2 - 6x (3)
สมการที่
(3)
ก็คือสมการที่
(1)
ที่ถูกตัดพจน์
+
1 ตัวท้ายออกไป
แล้วนำมาคำนวณใน 3
รูปแบบเช่นสมการที่
(1)
ดังนี้
(ในที่นี้ค่า
x
ในคอลัมน์ด้านซ้ายได้มาจากการป้อนค่า
x
เข้าไปโดยตรง)
f(x)
= x^6 + 6*x^5 + 15*x^4 - 20*x^3 + 15*x^2 - 6*x (รูปแบบยกกำลัง)
f(x)
= x*x*x*x*x*x + 6*x*x*x*x*x + 15*x*x*x*x - 20*x*x*x + 15*x*x - 6*x
(รูปแบบผลคูณ)
และ f(x)
= x*(x*(x*(x*(x*(x - 6) + 15) - 20) + 15) - 6) (รูปแบบวงเล็บ)
ผลการคำนวณด้วยรูปแบบวงเล็บที่ค่า
x
= 0.998 พบว่าค่าตัวเลขออกมาเป็น
"-10"
แต่เมื่อนำข้อมูลไปเขียนกราฟกลับพบว่าค่า
f(x)
ที่ตำแหน่งดังกล่าวมีค่าเป็น
"0"
การตรวจสอบด้วยการเอาค่าในช่องดังกล่าวมาบวก
1
เข้าไปก็พบว่าได้ค่าออกมาเป็น
"0"
นั่นแสดงว่าตัวเลขที่แสดงออกมาหน้าจอและในหน่วยความจำนั้นเป็นคนละตัวกัน
การทดสอบเพิ่มเติมด้วยการลดจำนวนจุดทศนิยมที่ให้แสดงผลพบว่าเมื่อลดจำนวนจุดทศนิยมลงถึงระดับหนึ่ง
ตัวเลขที่แสดงจะกลับมาเป็น
"-1"
และเมื่อนำคำสั่งเดียวกันนี้ไปคำนวณด้วยโปรแกรม
Excel
ก็พบว่าค่าที่ได้คือ
"-1"
นั่นแสดงว่าความผิดปรกติตรงนี้เกิดขึ้นในส่วนของการแสดงผลของตัวโปรแกรม
OpenOffice
4.1.5 ที่ใช้คำนวณ
ก็เลยต้องของเอาเหตุการณ์นี้มาบันทึกเอาไว้ตรงนี้หน่อยเพื่อเป็นบทเรียนว่า
อย่างพึงแต่อ่านค่าตัวเลขเพียงอย่างเดียว
ให้พิจารณาดูด้วยว่าตัวเลขที่คำนวณได้นั้นมันผิดปรกติหรือไม่
ตารางที่
๔ คำตอบของฟังก์ชัน f(x)
= x6 - 6x5 + 15x4 - 20x3
+ 15x2 - 6x ที่คำนวณด้วยรูปแบบต่าง
ๆ พึงสังเกตุค่า f(x)
ในรูปวงเล็บที่ค่า
x
= 0.998
x
|
f(x)
ในรูปยกกำลัง
|
f(x)
ในรูปวงเล็บ
|
f(x)
ในรูปผลคูณ
|
0.996
|
-9.999999999999940E-01
|
-9.999999999999950E-01
|
-9.999999999999990E-01
|
0.9961
|
-9.999999999999920E-01
|
-9.999999999999960E-01
|
-9.999999999999960E-01
|
0.9962
|
-1.000000000000000E+00
|
-9.999999999999980E-01
|
-9.999999999999990E-01
|
0.9963
|
-9.999999999999980E-01
|
-9.999999999999960E-01
|
-9.999999999999950E-01
|
0.9964
|
-9.999999999999960E-01
|
-9.999999999999950E-01
|
-1.000000000000000E+00
|
0.9965
|
-9.999999999999970E-01
|
-9.999999999999970E-01
|
-9.999999999999920E-01
|
0.9966
|
-1.000000000000000E+00
|
-9.999999999999990E-01
|
-9.999999999999990E-01
|
0.9967
|
-1.000000000000000E+00
|
-9.999999999999980E-01
|
-9.999999999999960E-01
|
0.9968
|
-9.999999999999960E-01
|
-9.999999999999980E-01
|
-9.999999999999960E-01
|
0.9969
|
-9.999999999999990E-01
|
-1.000000000000000E+00
|
-9.999999999999970E-01
|
0.997
|
-9.999999999999970E-01
|
-1.000000000000000E+00
|
-1.000000000000000E+00
|
0.9971
|
-9.999999999999970E-01
|
-1.000000000000000E+00
|
-9.999999999999960E-01
|
0.9972
|
-9.999999999999980E-01
|
-9.999999999999990E-01
|
-9.999999999999950E-01
|
0.9973
|
-9.999999999999980E-01
|
-1.000000000000000E+00
|
-9.999999999999950E-01
|
0.9974
|
-1.000000000000000E+00
|
-1.000000000000000E+00
|
-1.000000000000010E+00
|
0.9975
|
-1.000000000000000E+00
|
-1.000000000000000E+00
|
-1.000000000000010E+00
|
0.9976
|
-9.999999999999980E-01
|
-1.000000000000000E+00
|
-9.999999999999980E-01
|
0.9977
|
-1.000000000000000E+00
|
-9.999999999999990E-01
|
-9.999999999999980E-01
|
0.9978
|
-9.999999999999980E-01
|
-1.000000000000000E+00
|
-1.000000000000000E+00
|
0.9979
|
-1.000000000000000E+00
|
-9.999999999999990E-01
|
-9.999999999999940E-01
|
0.998
|
-9.999999999999980E-01
|
-1.000000000000000E+00
|
-9.999999999999980E-01
|
0.9981
|
-9.999999999999980E-01
|
-9.999999999999990E-01
|
-1.000000000000010E+00
|
0.9982
|
-9.999999999999980E-01
|
-1.000000000000000E+00
|
-9.999999999999980E-01
|
0.9983
|
-1.000000000000000E+00
|
-1.000000000000000E+00
|
-1.000000000000000E+00
|
0.9984
|
-1.000000000000000E+00
|
-1.000000000000000E+00
|
-9.999999999999970E-01
|
0.9985
|
-1.000000000000000E+00
|
-9.999999999999990E-01
|
-1.000000000000000E+00
|
0.9986
|
-9.999999999999980E-01
|
-1.000000000000000E+00
|
-1.000000000000000E+00
|
0.9987
|
-1.000000000000000E+00
|
-9.999999999999990E-01
|
-9.999999999999980E-01
|
0.9988
|
-1.000000000000000E+00
|
-1.000000000000000E+00
|
-9.999999999999990E-01
|
0.9989
|
-1.000000000000000E+00
|
-9.999999999999970E-01
|
-1.000000000000000E+00
|
0.999
|
-1.000000000000000E+00
|
-1.000000000000000E+00
|
-9.999999999999980E-01
|
0.9991
|
-9.999999999999980E-01
|
-1.000000000000000E+00
|
-1.000000000000000E+00
|
0.9992
|
-1.000000000000000E+00
|
-1.000000000000000E+00
|
-1.000000000000000E+00
|
0.9993
|
-1.000000000000000E+00
|
-1.000000000000000E+00
|
-9.999999999999960E-01
|
0.9994
|
-9.999999999999990E-01
|
-1.000000000000000E+00
|
-9.999999999999970E-01
|
0.9995
|
-9.999999999999980E-01
|
-9.999999999999980E-01
|
-9.999999999999960E-01
|
0.9996
|
-1.000000000000000E+00
|
-1.000000000000000E+00
|
-1.000000000000000E+00
|
0.9997
|
-9.999999999999960E-01
|
-1.000000000000000E+00
|
-1.000000000000000E+00
|
0.9998
|
-1.000000000000000E+00
|
-10.000000000000000E+00
|
-1.000000000000000E+00
|
0.9999
|
-9.999999999999960E-01
|
-1.000000000000000E+00
|
-1.000000000000000E+00
|
1
|
-1.000000000000000E+00
|
-1.000000000000000E+00
|
-1.000000000000000E+00
|
1.0001
|
-1.000000000000000E+00
|
-1.000000000000000E+00
|
-1.000000000000000E+00
|
1.0002
|
-1.000000000000000E+00
|
-1.000000000000000E+00
|
-9.999999999999960E-01
|
1.0003
|
-1.000000000000000E+00
|
-1.000000000000000E+00
|
-9.999999999999960E-01
|
1.0004
|
-1.000000000000010E+00
|
-1.000000000000000E+00
|
-9.999999999999950E-01
|
1.0005
|
-9.999999999999980E-01
|
-9.999999999999990E-01
|
-1.000000000000000E+00
|
1.0006
|
-9.999999999999970E-01
|
-1.000000000000000E+00
|
-1.000000000000000E+00
|
1.0007
|
-1.000000000000000E+00
|
-9.999999999999990E-01
|
-1.000000000000000E+00
|
1.0008
|
-9.999999999999980E-01
|
-9.999999999999990E-01
|
-1.000000000000000E+00
|
1.0009
|
-1.000000000000010E+00
|
-1.000000000000000E+00
|
-9.999999999999980E-01
|
1.001
|
-1.000000000000000E+00
|
-1.000000000000000E+00
|
-9.999999999999970E-01
|
1.0011
|
-1.000000000000000E+00
|
-9.999999999999990E-01
|
-1.000000000000000E+00
|
1.0012
|
-1.000000000000000E+00
|
-1.000000000000000E+00
|
-1.000000000000010E+00
|
1.0013
|
-9.999999999999990E-01
|
-1.000000000000000E+00
|
-1.000000000000000E+00
|
1.0014
|
-9.999999999999980E-01
|
-9.999999999999980E-01
|
-1.000000000000000E+00
|
1.0015
|
-9.999999999999950E-01
|
-1.000000000000000E+00
|
-1.000000000000000E+00
|
1.0016
|
-1.000000000000000E+00
|
-1.000000000000000E+00
|
-1.000000000000000E+00
|
1.0017
|
-9.999999999999990E-01
|
-1.000000000000000E+00
|
-9.999999999999940E-01
|
1.0018
|
-9.999999999999980E-01
|
-9.999999999999980E-01
|
-1.000000000000000E+00
|
1.0019
|
-9.999999999999960E-01
|
-1.000000000000000E+00
|
-1.000000000000000E+00
|
1.002
|
-9.999999999999980E-01
|
-1.000000000000000E+00
|
-1.000000000000000E+00
|
1.0021
|
-9.999999999999990E-01
|
-9.999999999999980E-01
|
-9.999999999999990E-01
|
1.0022
|
-1.000000000000000E+00
|
-9.999999999999990E-01
|
-9.999999999999960E-01
|
1.0023
|
-1.000000000000000E+00
|
-9.999999999999980E-01
|
-1.000000000000000E+00
|
1.0024
|
-9.999999999999960E-01
|
-9.999999999999990E-01
|
-1.000000000000000E+00
|
1.0025
|
-1.000000000000000E+00
|
-9.999999999999990E-01
|
-9.999999999999940E-01
|
1.0026
|
-1.000000000000000E+00
|
-9.999999999999990E-01
|
-9.999999999999980E-01
|
1.0027
|
-1.000000000000000E+00
|
-1.000000000000000E+00
|
-1.000000000000000E+00
|
1.0028
|
-1.000000000000000E+00
|
-1.000000000000000E+00
|
-9.999999999999960E-01
|
1.0029
|
-1.000000000000000E+00
|
-9.999999999999980E-01
|
-1.000000000000000E+00
|
1.003
|
-1.000000000000000E+00
|
-9.999999999999980E-01
|
-1.000000000000000E+00
|
1.0031
|
-1.000000000000000E+00
|
-1.000000000000000E+00
|
-9.999999999999950E-01
|
1.0032
|
-9.999999999999990E-01
|
-1.000000000000000E+00
|
-9.999999999999990E-01
|
1.0033
|
-1.000000000000000E+00
|
-9.999999999999970E-01
|
-9.999999999999980E-01
|
1.0034
|
-9.999999999999980E-01
|
-9.999999999999980E-01
|
-1.000000000000000E+00
|
1.0035
|
-1.000000000000000E+00
|
-9.999999999999980E-01
|
-9.999999999999960E-01
|
1.0036
|
-9.999999999999940E-01
|
-9.999999999999980E-01
|
-1.000000000000000E+00
|
1.0037
|
-9.999999999999950E-01
|
-9.999999999999980E-01
|
-9.999999999999960E-01
|
1.0038
|
-9.999999999999950E-01
|
-9.999999999999960E-01
|
-9.999999999999980E-01
|
1.0039
|
-9.999999999999960E-01
|
-9.999999999999980E-01
|
-9.999999999999980E-01
|
1.004
|
-9.999999999999940E-01
|
-9.999999999999950E-01
|
-9.999999999999940E-01
|
รูปที่
๔ กราฟของข้อมูลในตารางที่
๔ จะเห็นว่าค่า f(x)
ที่เครื่องนำมาเขียนกราฟกับค่าที่ปรากฏในตารางนั้นมีความแตกต่างกันอยู่
สมัครสมาชิก:
บทความ (Atom)