Centrifugal pump กับ Equal percentage valve (ตอนที่ ๒) MO Memoir : Monday 1 August 2559

in·her·ent (adj.) existing as a natural or permentent future or quality of sb/sth. in·her·ently (adv.)

จาก Oxford advanced learner's dictionary of current english. โดย A.S. Hornby 4th ed. 6th Impression (1991)

วาล์วควบคุมนั้นใช้กับการไหลในท่อ ซึ่งอาจเป็นท่อส่งของเหลวหรือส่งแก๊ส ในกรณีที่เป็นท่อส่งของเหลวนั้น การเพิ่มแรงดันให้กับของเหลวเพื่อให้ของเหลวไหลไปตามท่อได้นั้นมักจะใช้ปั๊มเป็นหลัก และปั๊มที่ใช้กันมากที่สุดในโรงงานเห็นจะได้แก่ปั๊มหอยโข่ง (centrifugal pump) และด้วยพฤติกรรมของปั๊มหอยโข่งที่มีความดันด้านขาออกลดลงเมื่ออัตราการไหลเพิ่มขึ้น (inherent behaviour) ทำให้ความดันด้านขาเข้าของวาล์วควบคุมการไหลเปลี่ยนแปลงไปตามอัตราการไหลด้วย และด้วยพฤติกรรมเช่นนี้จึงทำให้การใช้วาล์วควบคุมแบบ equal percentage นั้นมีความเหมาะสมมากกว่า เพราะมันจะให้กราฟความสัมพันธ์ระหว่างอัตราการไหล (ช่วง 0 - 100% ของวาล์ว) และระดับการปิด-เปิด (% การยกตัวของ valve plug) ที่ใกล้เคียงเส้นตรงมากกว่าการใช้วาล์วควบคุมแบบ linear และคงจะด้วยเหตุผลเช่นนี้ จึงทำให้เห็นมีการใช้วาล์วควบคุมชนิด equal percentage เยอะแยะทั่วไปในโรงงาน

แต่อย่ารีบด่วนสรุปนะว่า "ถ้าต้องเลือกชนิดวาล์วควบคุมเมื่อใด ต้องเลือกชนิด equal percentage เอาไว้ก่อนเสมอ" เพราะตัวที่เป็นตัวกำหนดชนิดวาล์วที่เหมาะสมกับระบบคือพฤติกรรมการไหล (inherently flow behaviour) ไม่ใช่สูตรเคล็ดลับใด ๆ

เป็นเรื่องปรกติที่เราจะพบว่าขนาดวาล์วที่ได้จากการคำนวณเพื่อให้ได้อัตราการไหลสูงสุดตามต้องการนั้นมันไม่มีใครทำขาย การเลือกใช้จึงจำเป็นต้องเลือกวาล์วที่มีขนาดใหญ่ขึ้นไปอย่างน้อย ซึ่งก็เป็นแบบเดียวกับการคำนวณหาขนาดท่อที่เหมาะสมกับค่าอัตราการไหลที่ต้องการ ซึ่งเมื่อได้ค่ามาแล้วก็มักต้องปัดขึ้นไปใช้ท่อที่ใหญ่ขึ้นอย่างน้อยก็ 1 ขนาด
 

ใน Memoir ฉบับที่แล้ว (วันเสาร์ที่ ๓๐ กรกฎาคม ๒๕๕๙) ได้ยกตัวอย่างความสัมพันธ์ระหว่างความดันด้านขาออกของปั๊มและอัตราการไหลที่ได้ และจากการคำนวณก็พบว่าวาล์วที่ให้ค่าการไหลสูงสุดตามที่ต้องการเมื่อวาล์วเปิดเต็มที่นั้นต้องมีค่า K_v = 8.06 แต่เนื่องจากในทางปฏิบัตินั้นขนาดวาล์วที่คำนวณได้มักไม่ตรงกับขนาดที่มีขายทั่วไป และการควบคุมการไหลของวาล์วนั้นมักจะทำได้ไม่มีเมื่อวาล์วใกล้ปิดหรือเปิดเกือบเต็มที่ (ตัวอย่างหนึ่งที่เห็นได้ชัดคือแม้ว่า globe valve จะใช้ควบคุมการไหลได้ในช่วงกว้าง แต่ถ้าต้องการควบคุมอัตราการไหลที่ต่ำมาก จะหันไปใช้ needle valve แทน เพราะมันปรับละเอียดได้ดีกว่า) และยังมีประเด็นที่ว่าอัตราการไหลสูงสุดจริงที่ต้องการอาจมากกว่าค่าที่ใช้ในการออกแบบ ดังนั้นการใช้วาล์วที่มีขนาดที่ใหญ่กว่าขนาดที่ได้จากการคำนวณ จึงมักจะพบเห็นกันเป็นเรื่องปรกติ
 

ใน Memoir ฉบับนี้จะเป็นการขยายความต่อจากฉบับที่แล้ว โดยจะสมมุติว่าเลือกใช้วาล์วที่มีค่า K_v = 10.0 แล้วลองคำนวณว่าถ้าเป็นวาวล์ชนิด linear และชนิด equal percentage ที่มีค่า rangeability (τ) = 20 50 และ 100 ผลที่ได้จะเป็นอย่างไร ผลการคำนวณในกรณีของวาล์วชนิด linear แสดงไว้ในตารางที่ ๑ และรูปที่ ๑ และผลการคำนวณในกรณีของวาล์วชนิด equal percentage แสดงไว้ในตารางที่ ๒ และรูปที่ ๒

ตรงนี้ขอย้ำนิดนึงเวลาที่พูดถึงคำว่า "linearity" หรือ "ความเป็นเส้นตรง" ว่าให้ระวังนิดนึง ปรกติเวลาที่ใช้คำ ๆ นี้เรามักจะหมายถึงการที่ตัวแปรตาม y มีการเปลี่ยนแปลงที่แปรผันตรงกับตัวแปรอิสระ x หรือสามารถประมาณได้ว่ามีการแปรผันตรงกับตัวแปรตาม x (เช่นในกรณีของเส้นโค้งที่มีความโค้งน้อย) ถ้าว่ากันตามนิยามนี้เราก็จะเห็นว่าวาล์วแบบ linear นั้นมีกราฟความสัมพันธ์ระหว่าง % การยกตัวขึ้นของ valve plug กับอัตราการไหลที่ประมาณได้ว่าเป็นเส้นตรง แต่ก็เป็นในช่วงแคบ ๆ (เช่นในช่วง 0 - 30%, 50 - 80%) โดยแต่ละช่วงนั้นก็จะมีสมการเส้นตรงสำหรับประมาณค่าของมันเอง 
 

แต่ linearity ในกรณีของการควบคุมกระบวนการนั้นเราอยากจะได้ความสัมพันธ์ที่ประมาณได้ด้วยสมการเส้นตรงแบบ 1:1 มากกว่า และครอบคลุมในช่วงที่กว้างมากกว่า กล่าวคือถ้าวาล์วเปิด 30% ก็ให้อัตราการไหล 30% ของค่าสูงสุด ถ้าวาล์วเปิด 65% ก็ให้อัตราการไหลเป็น 65% ของค่าสูงสุด อะไรทำนองนี้ ซึ่งในกรณีนี้จะพบว่าวาล์วแบบ equal percentage (ที่มีค่า rangeability ที่เหมาะสมนั้น) จะให้ความเป็น linearity ในรูปแบบนี้ที่ดีกว่า

กรณีสุดท้ายที่จะทดลองคำนวณดูก็คือจะสมมุติว่าถ้าความดันด้านขาออกของปั๊มนั้นมีการเปลี่ยนแปลงค่อนข้างมากเมื่อเทียบกับอัตราการไหล (คือกราฟความสัมพันธ์ระหว่างอัตราการไหลกับความดันนั้นมีลักษณะโค้งคว่ำที่มากขึ้น) จะส่งผลต่อการทำงานของวาล์วชนิด equal percentage อย่างไร โดยจะสมมุติให้ความสัมพันธ์ระหว่างความดันด้านขาออกของปั๊มและอัตราการไหลเป็นไปดังค่าที่แสดงในตารางที่ ๓ ผลการคำนวณความสัมพันธ์ระหว่าง % การยกตัวของ valve plug และค่าอัตราการไหลก็แสดงไว้ในตารางที่ ๓ และรูปที่ ๓

ค่า rangeability เป็นค่าอัตราส่วนระหว่างอัตราการไหลที่มากที่สุดต่ออัตราการไหลที่ต่ำที่สุดที่วาล์วตัวนั้นควบคุมได้ ค่า rangeability ที่สูงแปลว่า "ตัวหาร (หรือค่าอัตราการไหลต่ำสุดที่วาล์วยังคงควบคุมได้)" มีค่าน้อย จากข้อมูลในตารางที่ ๒ และ ๓ จะเห็นว่าในช่วงอัตราการไหลต่ำนั้น (คือต่ำกว่า 2 m³/h) วาล์วที่มีค่า rangeability = 50 ให้การควบคุมการไหลที่ดีกว่าวาล์วที่มีค่า rangeability = 20 แต่ในช่วงที่อัตราการไหลที่สูงขึ้นไป วาล์วที่มีค่า rangeability = 20 จะให้การควบคุมการไหลที่ดีกว่าวาล์วที่มีค่า rangeability = 50

ในทางปฏิบัติในกรณีที่ต้องการควบคุมอัตราการไหลในช่วงกว้าง (เช่นในการปรับส่วนผสมของสารตั้งต้นที่ใช้ในการเข้าทำปฏิกิริยาเคมี) เราไม่จำเป็นต้องมีวาล์วควบคุมตัวเดียว เราอาจมีวาล์วควบคุมมากกว่า ๑ ตัวได้ โดยวาล์วตัวหนึ่งเป็นวาล์วควบคุมในกรณีที่ต้องการใช้อัตราการไหลที่สูง ส่วนอีกตัวหนึ่งเป็นวาล์วควบคุมในกรณีที่ต้องการใช้อัตราการไหลที่ต่ำ ซึ่งจะช่วยแก้ปัญหากรณีของวาล์วที่ควบคุมการไหลในช่วงอัตราการไหลที่สูงได้ดี แต่ควบคุมอัตราการไหลต่ำได้ไม่ดี

หวังว่าที่เขียนเรื่องนี้มารวม ๓ ตอน ๑๕ หน้า A4 นี้คงจะช่วยปูพื้นฐานบางเรื่องเกี่ยวกับวาล์วควบคุม (control valve) ให้ใครต่อใครได้บ้าง ไม่มากก็น้อย

Centrifugal pump กับ Equal percentage valve (ตอนที่ ๑) MO Memoir : Saturday 30 July 2559

พิจารณาระบบผลิตไอน้ำระบบหนึ่งที่ประกอบด้วยปั๊มน้ำที่สูบน้ำจากถังเก็บเพื่อป้อนให้กับหม้อน้ำ โดยหม้อน้ำผลิตไอน้ำที่ความดันคงที่ 10 bar (10 kg/cm²) โดยมีกำลังการผลิตไอน้ำสูงสุด 10 t/h (ตันต่อชั่วโมง) ดังนั้นปั๊มน้ำต้องสามารถให้อัตราการไหลสูงสุดของน้ำ (ของเหลว) ได้อย่างน้อย 10 m³/h ที่ความดันด้านขาเข้าวาล์วควบคุมไม่ต่ำกว่า 10 bar รูปที่ ๑ ข้างล่างเป็นแผนผังอย่างง่ายของระบบดังกล่าว

ปั๊มที่ใช้กันมากที่สุดในโรงงานเห็นจะได้แก่ปั๊มหอยโข่ง (centrifugal pump) ปั๊มชนิดนี้อาศัยการเพิ่มพลังงานจลน์ให้กับของเหลวที่ดูดเข้ามาและถูกเหวี่ยงออกจาก จากนั้นของเหลวก็จะเปลี่ยนพลังงานจลน์ที่มันได้รับมาให้กลายเป็นความดันอีกทีหนึ่ง ความดันที่สร้างได้นั้นขึ้นอยู่กับขนาดของใบพัดที่ใช้และความเร็วรอบที่หมุน (ขึ้นกับชนิดของมอเตอร์ว่ามีกี่ pole และใช้ไฟฟ้าความที่กี่ Hz) การควบคุมอัตราการไหลจะใช้วาล์วควบคุมการไหลด้านขาออก โดยต้องคำนึงถึงโอกาสที่ว่าวาล์วควบคุมนั้นจะมีโอกาสปิดสนิทหรือไม่ ถ้าคาดว่าในการทำงานนั้นมีโอกาสที่วาล์วควบคุมจะปิดสนิท ก็ต้องมีการติดตั้ง minimum flow line ที่เปิดค้างไว้ตลอดเวลา (ป้อนของเหลวด้านขาออกจากปั๊มกลับไปยังถังบรรจุของเหลว) เพื่อให้มั่นใจว่าจะมีของเหลวไหลผ่านตัวปั๊มตลอดเวลาแม้ว่าวาล์วควบคุมจะปิดสนิท (เพื่อป้องกันความเสียหายแก่ตัวปั๊มถ้าหากไม่มีของเหลวไหลผ่าน)
 

พฤติกรรมทั่วไปของปั๊มหอยโข่งคือจะให้ค่าความดันด้านขาออกที่สูงที่สุดเมื่ออัตราการไหลด้านขาออกมีค่าต่ำสุด (คือเป็นศูนย์ หรือที่ค่าอัตราการไหลที่ต่ำที่สุดที่ต้องมีเพื่อป้องกันไม่ให้ปั๊มเกิดความเสียหาย) และถ้าอัตราการไหลเพิ่มขึ้น ความดันด้านขาออกจะลดลง ถ้ายังนึกภาพไม่ออกก็ลองดูรูปของ pump performance curve ในรูปที่ ๒ ได้ (ปั๊มหอยโข่งบางชนิดอาจจะเห็นว่าความดันด้านขาออกค่อนข้างคงที่หรือเพิ่มขึ้นเล็กน้อย ก่อนที่จะลดต่ำลงเมื่ออัตราการไหลสูงขึ้น แต่พฤติกรรมเช่นนี้จะเห็นเฉพาะในช่วงอัตราการไหลที่ต่ำเท่านั้น - บางกราฟใช้สเกล log สำหรับแกนนอน ดังนั้นแม้เส้นกราฟจะดูยาว แต่ถ้าเทียบกับสเกลแล้วจะเห็นว่ามันเป็นช่วงการไหลแคบ ๆ เท่านั้นเอง)

เนื้อหาที่เขียนในตอนนี้นำบทความจาก http://www.spiraxsarco.com/Resources/Pages/Steam-Engineering-Tutorials/control-hardware-el-pn-actuation/control-valve-characteristics.aspx มาเป็นต้นแบบโดยนำมาขยายความเพิ่มเติมเพื่อให้ผู้ที่ยังไม่ค่อยมีพื้นฐาน (รวมทั้งผมเองด้วย) มองเห็นภาพได้ชัดเจนขึ้น โดยจะทำการคำนวณเปรียบเทียบกับตัวอย่างในหน้าเว็บดังกล่าว และทำการคำนวณเพิ่มเติมเพื่อให้เห็นรายละเอียดต่าง ๆ มากขึ้น

ตัวอย่างที่ยกมานี้ถือว่าเป็นตัวอย่างที่ไม่มี minimum flow line คือของน้ำที่จ่ายออกทางด้านขาออกของปั๊มถูกส่งตรงไปที่หม้อน้ำทั้งหมด สมมุติว่าปั๊มที่ใช้น้ำมีค่าความดันด้านขาออกที่อัตราการไหลต่าง ๆ ดังแสดงในตารางที่ ๑ ความดันด้านขาออกของปั๊มนี้ถือว่าเป็นความดันด้านขาเข้าของวาล์วควบคุม โดยที่ด้านขาออกของวาล์วควบคุมนั้นถือว่ามีความดันเท่ากับความดันในหม้อน้ำคือ 10 bar ดังนั้นค่า ΔP คร่อมวาล์วที่อัตราการไหลใด ๆ จึงคำนวณได้จากสมการที่ (1)

ตารางที่ ๑ ความสัมพันธ์ระหว่างอัตราการไหลและความดันด้านขาออกของปั๊ม

อัตราการไหล (m3/h)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
ความดันด้านขาออกของปั๊ม (bar)	15.58	15.54	15.42	15.23	14.95	14.58	14.41	13.61	13.00	12.31	11.54
ΔP คร่อมวาล์ว (bar)	5.58	5.54	5.42	5.23	4.95	4.58	4.41	3.61	3.00	2.31	1.54

สำหรับวาล์วควบคุมนั้นเรามีสมการคำนวณค่า flow coefficient (K_v อันนี้ขอเป็นระบบเมตริกหน่อยนะ) ดังนี้

สำหรับน้ำที่มีค่า specific gravity (SG) = 1 สมการที่ (2) จะลดรูปเหลือ

ในการระบุความสามารถ (capacity) ของวาล์วในการส่งผ่านของเหลวนั้นเพื่อคำนวณค่า K_v นั้นจะใช้ค่า ΔP คร่อมวาล์วที่ 1 bar เป็นเกณฑ์เปรียบเทียบ โดยสมมุติว่าวาล์วเปิดเต็มที่ ดังนั้นในกรณีนี้ถ้าต้องการวาล์วที่ให้น้ำไหลผ่านได้ 10 m³/h ที่ค่า ΔP คร่อมวาล์วที่ 1 bar จากสมการที่ (3) ก็จะคำนวณได้ค่า K_v = 10
 

แต่ในความเป็นจริงนั้นวาล์วไม่ได้ทำงานโดยมีค่า ΔP คร่อมวาล์วเท่ากับ 1 bar เสมอไป อย่างเช่นในกรณีของตัวอย่างที่ยกมานี้ ถ้าต้องการให้น้ำไหลผ่านวาล์วได้ 10 m³/h ในขณะที่วาล์วเปิดเต็มที่ (100% open) ซึ่งจะมีค่า ΔP คร่อมวาล์วเท่ากับ 1.54 bar (ตารางที่ ๑) ดังนั้นจะสามารถคำนวณค่า K_vr (required valve capacity) ได้จากการจัดรูปแบบสมการที่ (3) ใหม่ดังนี้

เมื่อแทนค่า Q = 10 m³/h และ ΔP คร่อมวาล์วเท่ากับ 1.54 bar ลงไปในสมการที่ (4) ก็จะได้ค่า K_vr = 8.06
 

ค่า K_v นั้นเปรียบเสมือนขนาดพื้นที่หน้าตัดสำหรับให้ของเหลวไหลผ่านเมื่อวาล์วเปิดเต็มที่ ในขณะที่ K_vr นั้นเปรียบเสมือนพื้นที่หน้าตัดสำหรับให้ของเหลวไหลผ่านที่ค่าอัตราการไหลใด ๆ สมมุติว่าถ้าความดันคร่อมวาล์วคงที่ เมื่อวาล์วเปิดเต็มที่จะมีน้ำไหลผ่านได้ 10 m³/h ถ้าต้องการให้น้ำไหลผ่านเพียง 6 m³/h ก็ต้องลดขนาดพื้นที่หน้าตัดสำหรับให้น้ำไหลลงเหลือ 60% ถ้าวาล์วดังกล่าวมีค่า K_v = 8.06 (เมื่อวาล์วเปิดเต็มที่) ดังนั้นที่อัตราการไหล 6 m³/h วาล์วก็ต้องปิดตัวลงเพื่อลดค่า K_vr ให้เหลือ 8.06 x (6/10) = 4.84
 

ในกรณีที่ค่าความดันลดคร่อมวาล์ว (ΔP) เปลี่ยนแปลงไปตามอัตราการไหลนั้นเราจะสามารถคำนวณค่า K_vr ได้โดยใช้สมการที่ (4) ดังนั้นสำหรับกรณีตัวอย่างที่ยกมาในตารางที่ ๑ นั้นเราจะสามารถคำนวณค่า K_vr ที่อัตราการไหลต่าง ๆ ได้ดังแสดงในตารางที่ ๒ โดยที่ค่านี้ไม่ขึ้นอยู่กับชนิดของวาล์วว่าจะเป็นวาล์วควบคุมแบบไหน

ตารางที่ ๒ ความสัมพันธ์ระหว่างค่า K_vr และอัตราการไหล

อัตราการไหล (m3/h)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
ความดันด้านขาออกของปั๊ม (bar)	15.58	15.54	15.42	15.23	14.95	14.58	14.41	13.61	13.00	12.31	11.54
ΔP คร่อมวาล์ว (bar)	5.58	5.54	5.42	5.23	4.95	4.58	4.41	3.61	3.00	2.31	1.54
Kvr	0.00*	0.42	0.86	1.31	1.80	2.34	2.95	3.68	4.62	5.92	8.06

หมายเหตุ : ที่อัตราการไหลเป็น 0 สมมุติให้วาล์วปิดสนิท

ใน Memoir ฉบับที่แล้ว (วันพฤหัสบดีที่ ๒๘ กรกฎาคม ๒๕๕๙) ได้เล่าไว้ว่าสำหรับวาล์วตัวหนึ่งนั้นขนาดพื้นที่หน้าตัดที่เปิดให้ของเหลวไหลผ่านได้นั้น (ซึ่งบ่งบอกถึงค่า K_vr) ขึ้นอยู่กับรูปร่างของ valve plug และระยะการยกขึ้นลงของ valve plug ในกรณีของวาล์วควบคุมชนิด linear นั้นความสัมพันธ์ระหว่างพื้นที่หน้าตัดที่เปิดให้ของเหลวไหลผ่านกับระยะการยกตัวขึ้นลงของ valve plug มีลักษณะเป็นเส้นตรง กล่าวคือถ้าวาล์วยกตัวสูงขึ้น 10% พื้นที่หน้าตัดการไหลก็จะเปิดเพียงแค่ 10% ของพื้นที่ทั้งหมด (หรือ K_vr = 0.10K_v ) ถ้าวาล์วยกตัวสูงขึ้น 35% พื้นที่หน้าตัดการไหลก็จะเปิดเพียงแค่ 35% ของพื้นที่ทั้งหมด (หรือ K_vr = 0.35K_v ) ถ้าวาล์วยกตัวสูงขึ้น 100% พื้นที่หน้าตัดการไหลก็จะเปิดเพียงแค่ 100% ของพื้นที่ทั้งหมด (หรือ K_vr = 1.00K_v )
 

จากข้อมูลในตารางที่ ๒ นั้น ถ้าเราเลือกใช้วาล์วควบคุมที่มีรูปแบบการไหลแบบ linear type ที่มีค่า K_v = 8.06 ที่ให้อัตราการไหล 10 m³/h เมื่อวาล์วเปิดเต็มที่ (คือมีระยะการยกตัวของ valve plug = 100%) เราจะสามารถคำนวณระยะการยกตัวของ valve plug ที่อัตราการไหลต่าง ๆ ได้จากสมการ

เช่นที่อัตราการไหล 6 m³/h valve plug จะยกตัวขึ้น (2.95/8.06) x (100) = 36.60% ดังนั้นเมื่อคำนวณระดับการยกตัวของ valve plug ที่ค่าอัตราการไหลต่าง ๆ ก็จะได้ค่าดังแสดงในตารางที่ ๓ และเมื่อนำค่า %การยกตัวของ valve plug ที่คำนวณได้ไปเขียนกราฟกับอัตราการไหลที่ได้ ก็จะได้กราฟดังรูปที่ ๓ ที่เรียกว่า Installation curve

ตารางที่ ๓ ความสัมพันธ์ระหว่างค่า K_vr อัตราการไหล และ %การยกตัวของ valve plug ในกรณีของวาล์วที่มีรูปแบบการไหลแบบ linear และมีค่า K_v = 8.06

อัตราการไหล (m3/h)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Kvr	0.00*	0.42	0.86	1.31	1.80	2.34	2.95	3.68	4.62	5.92	8.06
%การยกตัวของ valve plug	0.00	5.27	10.66	16.28	22.31	28.99	36.59	45.72	57.32	73.48	100.0

หมายเหตุ : ที่อัตราการไหลเป็น 0 สมมุติให้วาล์วปิดสนิท

จากรูปที่ ๓ จะเห็นว่าความสัมพันธ์ที่ได้นั้นมีการเบี่ยงเบนไปจากความเป็นเส้นตรง (linearity หรือเส้นสีส้ม) อยู่ค่อนข้างมาก
 

ทีนี้เราลองมาดูกรณีของวาล์วชนิด equal percentage ดูบ้างที่อัตราการไหลผ่านวาล์วและระยะการยกตัวของ valve plug มีความสัมพันธ์ในรูปแบบ

โดยการจัดรูปแบบสมการที่ (6) ใหม่ เราจะได้

แต่เนื่องจากอัตราการไหลผ่านวาล์วขึ้นแปรผันตรงกับค่า K_vr ดังนั้นเราจะได้ว่า (Q/ Q_max) = (K_vr/ K_v) ซึ่งเมื่อแทนค่าลงไปในสมการที่ (6) ก็จะได้ว่า

จากสมการที่ (8) เราสามารถคำนวณค่า %การยกตัวของ valve plug (%H) ที่ค่าอัตราการไหลต่าง ๆ ได้ เช่นถ้าใช้วาล์วที่มีค่า K_v = 8.06 rangeability (τ) = 20 และต้องการอัตราการไหล 4 m³/hr ซึ่งค่า K_vr ที่อัตราการไหลนี้เท่ากับ 1.80 และเมื่อแทนค่าเหล่านี้ลงไปในสมการที่ (8) ก็จะได้

ตารางที่ ๔ ความสัมพันธ์ระหว่างค่า K_vr อัตราการไหล และ %การยกตัวของ valve plug ในกรณีของวาล์วที่มีรูปแบบการไหลแบบ equal percentage และมีค่า K_v = 8.06 โดยมีค่า rangeability (τ) ต่างกัน

อัตราการไหล (m3/h)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Kvr	0.00*	0.42	0.86	1.31	1.80	2.34	2.95	3.68	4.62	5.92	8.06
%การยกตัวของ valve plug (τ=20)	0.00	1.76	25.27	39.40	49.92	58.66	66.44	73.87	81.41	89.71	99.99
%การยกตัวของ valve plug (τ=50)	0.00	24.77	42.77	53.59	61.65	68.35	74.30	79.99	85.77	92.12	99.99
%การยกตัวของ valve plug (τ=100)	0.00	36.10	51.38	60.58	67.42	73.11	78.17	83.00	87.91	93.31	100.0

หมายเหตุ : ที่อัตราการไหลเป็น 0 สมมุติให้วาล์วปิดสนิท
  

ตารางที่ ๔ เป็นผลการคำนวณในกรณีที่ใช้วาล์วที่มีค่า K_v = 8.06 และมีค่า rangeability (τ) = 20, 50 และ100 ซึ่งเมื่อนำผลการคำนวณที่ได้เป็นเขียนเป็นกราฟความสัมพันธ์ระหว่าง %การยกตัวของ valve plug ที่คำนวณได้กับอัตราการไหลที่ได้ (installation curve) ก็จะได้กราฟดังแสดงในรูปที่ ๔ ข้างล่าง

จากรูปที่ ๔ จะเห็นว่าถ้าเลือกใช้วาล์วชนิด equal percentage ที่มีค่า rangeability (τ) ที่เหมาะสมกับระบบ (ในตัวอย่างที่ยกมาคือ τ = 20) จะได้กราฟความสัมพันธ์ระหว่าง %การยกตัวของ valve plug และค่าอัตราการไหล ใกล้เคียงเส้นตรง (หรือมี linearity) มากกว่าการใช้วาล์วชนิด linear

ในทางปฏิบัตินั้นผู้ผลิตวาล์วไม่ได้ผลิตวาล์วที่มีค่า K_v ตามความต้องการของผู้ใช้งานทุกค่า แต่จะผลิตวาล์วที่มีค่า K_v เป็นช่วง ๆ ดังนั้นจึงเป็นเรื่องปรกติที่จะพบว่าจะต้องเลือกใช้วาล์วที่มีค่า K_v สูงกว่าค่าที่คำนวณได้ (คือวาล์วไม่จำเป็นต้องเปิดเต็มที่ที่อัตราการไหลสูงสุดที่ต้องการ) นอกจากนี้การเผื่อขนาดให้ใหญ่กว่าความต้องการแท้จริงยังมีประโยชน์ถ้าหากเกิดความจำเป็นที่ต้องการอัตราการไหลที่สูงขึ้นในอนาคต เพราะจะยังสามารถใช้ capacity ที่เผื่อเอาไว้ของวาล์วโดยไม่จำเป็นต้องเปลี่ยนวาล์วใหม่ วาล์วที่มีค่า K_v = 8.06

แต่เรื่องเกี่ยวที่ข้องกับสมการคณิตศาสตร์มักจะชวนให้ปวดหัว ไม่สนุกกับการอ่านยาว ๆ ดังนั้นแม้ว่าเรื่องนี้จะยังไม่จบแต่ก็ต้องขอยกยอดไปในฉบับต่อไปเพราะลากยาวมาถึง ๖ หน้าแล้ว ซึ่งเราจะมาดูกันว่าเมื่อมันไม่มีวาล์วที่มีค่า K_v = 8.06 ทำให้ต้องใช้วาล์วที่มีขนาดใหญ่ขึ้นไปอีกนั้น จะส่งผลต่อการควบคุมอัตราการไหลอย่างไรบ้าง