การคำนวณเชิงตัวเลข (๓๘) การแก้สมการอนุพันธ์ด้วยฟังก์ชันพหุนาม (๑๓) MO Memoir : Monday 27 April 2563

จากสมการสำหรับคำนวณหา orthogonal function ในช่วง [0, 1] สำหรับฟังก์ชันพนุนามที่เป็นฟังก์ชันคู่ข้างล่าง  .....

ดาวน์โหลดไฟล์ pdf ฉบับเต็มได้ที่นี่ 

 

การคำนวณเชิงตัวเลข (๓๗) การแก้สมการอนุพันธ์ด้วยฟังก์ชันพหุนาม (๑๒) MO Memoir : Wednesday 21 April 2563

จากสมการสำหรับคำนวณหา orthogonal function ในช่วง [0, 1] สำหรับฟังก์ชันพนุนามที่เป็นฟังก์ชันคู่ข้างล่าง ...

ดาวน์โหลดไฟล์ pdf ฉบับเต็มได้ที่นี่

การคำนวณเชิงตัวเลข (๓๖) การแก้สมการอนุพันธ์ด้วยฟังก์ชันพหุนาม (๑๑) MO Memoir : Tuesday 21 April 2563

สมการสำหรับคำนวณหา orthogonal function ในช่วง [0, 1] สำหรับฟังก์ชันพนุนามที่เป็นฟังก์ชันคู่ ในหนังสือของ Finlayson ได้ให้สมการต่อไปนี้ไว้

ดาวน์โหลดบทความ pdf ฉบับเต็มได้ที่นี่ 

การคำนวณเชิงตัวเลข (๓๕) การแก้สมการอนุพันธ์ด้วยฟังก์ชันพหุนาม (๑๐) MO Memoir : Thursday 16 April 2563

ฉบับนี้เป็นฉบับต่อจากตอนที่แล้ว (ฉบับวันเสาร์ที่ ๑๑ เมษายน ๒๕๖๓ ที่ผ่านมา) แต่คราวนี้จะเป็นกรณีของพิกัดทรงกระบอก (cylindrical) และทรงกลม (spherical)

เริ่มจากกรณีของตัวเร่งปฏิกิริยารูปทรงกระบอกที่มีรัศมี r = 1 หน่วย และมีความยาวเป็นอนันต์ (เพื่อตัดผลที่หัวท้ายออกไป ให้มีเฉพาะการแพร่ในทิศทางแนวรัศมีเท่านั้น) ในกรณีนี้สมการดุลมวลสารอย่างง่ายจะมีหน้าตาดังนี้ ....

ดาวน์โหลดบทความ pdf ฉบับเต็มได้ที่ลิงก์นี้

การคำนวณเชิงตัวเลข (๓๔) การแก้สมการอนุพันธ์ด้วยฟังก์ชันพหุนาม (๙) MO Memoir : Saturday 11 April 2563

ในการทำปฏิกิริยาที่มีการใช้ตัวเร่งปฏิกิริยาวิวิธพันธ์บนตัวรองรับ (supported heterogeneous catalyst) นั้น สารตั้งต้นจะแพร่จากเฟส bulk fluid ที่ล้อมรอบอนุภาคตัวเร่งปฏิกิริยา เข้าไปในรูพรุนของตัวรองรับเพื่อเข้าไปเกิดปฏิกิริยาบน active species ที่เคลือบอยู่บนพื้นผิวรูพรุนของตัวรองรับ (catalyst support) เกิดเป็นผลิตภัณฑ์ที่จะแพร่สวนทางออกมา ดังนั้นเมื่อสารตั้งต้นแพร่ลึกเข้าไปในรูพรุนเรื่อย ๆ ความเข้มข้นของสารตั้งต้นก็จะลดต่ำลง ส่วนจะลดต่ำลงมากแค่ไหนก็ขึ้นอยู่กับอัตราส่วนระหว่างอัตราเร็วในการแพร่ต่ออัตราเร็วในการเกิดปฏิกิริยา ถ้าอัตราเร็วในการแพร่นั้นสูงเมื่อเทียบกับอัตราการเกิดปฏิกิริยา ความเข้มข้นของสารตั้งต้นก็จะลดลงไม่มาก แต่ถ้าอัตราเร็วในการเกิดปฏิกิริยานั้นสูงมากจนสารตั้งต้นแพร่เข้าไปไม่ทัน ความเข้มข้นของสารตั้งต้นก็อาจจะลดลงเป็นศูนย์อย่างรวดเร็ว และเราก็ได้นำความรู้ตรงนี้มาใช้ในการออกแบบตัวเร่งปฏิกิริยาว่า ในการเคลือบ active species เข้าไปในรูพรุนของตัวรองรับนั้น จำเป็นหรือไม่ที่ต้องให้ active species มีอยู่ตลอดทั้งความลึกของรูพรุน เพราะถ้าปฏิกิริยาเกิดเร็วมากจนสารตั้งต้นหมดไปก่อนที่จะสามารถแพร่เข้าไปได้ลึก active species ที่อยู่ลึกเข้าไปในรูพรุนก็ไม่ได้ใช้ประโยชน์ การมี active species ที่อยู่ลึกเข้าไปในรูพรุนก็จะเป็นการสูญเปล่า (เพราะใส่มันเข้าไป แต่ใช้ประโยชน์ไม่ได้) ในการศึกษาด้านตัวเร่งปฏิกิริยาวิวิธพันธ์เรื่องเหล่านี้อยู่ในหัวข้อเรื่อง effectiveness factor

วันนี้เราจะมาลองคำนวณหาโปรไฟล์การเปลี่ยนแปลงความเข้มข้นสารตั้งต้นในรูพรุนของตัวเร่งปฏิกิริยา โดยเริ่มจากแบบจำลองอย่างง่ายก่อน โดยสมมุติว่าเรามีตัวเร่งปฏิกิริยาที่มีรูปร่างเป็นแผ่นแบน (slab) ที่มีความหนา 2 หน่วยและมีความกว้างยาวเป็นอนันต์ (อันนี้เป็นข้อสมมุติเพื่อให้โจทย์ปัญหาเป็นเพียงแค่ 1 มิติคือเฉพาะในทิศทางความหนาเท่านั้น) กำหนดให้ตำแหน่งกึ่งกลางคือตำแหน่ง x = 0 และขอบด้านซ้ายและด้านขวาคือ x = -1 และ x = 1 ตามลำดับ สิ่งที่เราคาดการณ์ได้ก็คือโปรไฟล์ความเข้มข้นควรมีความสมมาตร ณ ตำแหน่งแกนกลาง (x = 0) ดังแสดงในรูปที่ ๑ โดยความเข้มข้นที่ขอบนอกจะสูงสุด และจะลดลงต่ำสุดที่แนวเส้นกึ่งกลาง

ดาวน์โหลดไฟล์ pdf ฉบับเต็มได้ที่นี่ 

 

การคำนวณเชิงตัวเลข (๓๓) การแก้สมการอนุพันธ์ด้วยฟังก์ชันพหุนาม (๘) MO Memoir : Monday 6 April 2563

จากที่ได้เกริ่นไว้เมื่อวันเสารที่ผ่านมา วันนี้จะเป็นการคำนวณหา orthogonal function ในช่วง [0, 1] สำหรับฟังก์ชันพนุนามที่เป็นฟังก์ชันคู่ในกรณีของพิกัดทรงกลม (Spherical coordinate) โดยเริ่มจากสมการที่ (1) ข้างล่าง

ดาวน์โหลดฉบับ pdf ได้ที่นี่ 

 

การคำนวณเชิงตัวเลข (๓๒) การแก้สมการอนุพันธ์ด้วยฟังก์ชันพหุนาม (๗) MO Memoir : Saturday 4 April 2563

จากตอนที่แล้ว (เมื่อวันพฤหัสบดีที่ ๒ เมษายน) เราได้ทดลองคำนวณหา orthogonal function ในช่วง [0, 1] สำหรับฟังก์ชันพนุนามที่เป็นฟังก์ชันคู่ในกรณีของพิกัดฉาก (Cartesian coordinate) เอาไว้ มาวันนี้จะทดลองหากรณีของพิกัดทรงกระบอก (Cylindrical coordinate) ดูบ้าง เริ่มจากสมการที่ (1) ข้างล่าง

ดาวน์โหลดไฟล์ pdf ฉบับเต็มได้ที่ลิงก์นี้

การคำนวณเชิงตัวเลข (๓๑) การแก้สมการอนุพันธ์ด้วยฟังก์ชันพหุนาม (๖) MO Memoir : Thursday 2 April 2563

ตรงนี้ขอบันทึกไว้นิดนึง เนื้อหาในบทความชุดนี้นับตั้งแต่ตอนที่ ๑ นั้นอิงมาจากตัวอย่างในหนังสือ "Nonlinear Analysis in Chemical Engineering" ที่เขียนโดย Prof. Bruce A. Finlayson เล่มที่ผมมีนั้นเป็นฉบับพิมพ์เมื่อค.ศ. ๑๙๘๐ เหตุผลที่มีเล่มนี้ก็เพราะต้องใช้ในการทำวิทยานิพนธ์ตอนเรียนปริญญาเอก

  

สมัยเรียนปริญญาตรีได้เรียนเรื่องการแก้ปัญหาสมการอนุพันธ์แยกออกมาเป็นวิชาหนึ่งต่างหาก (๓ หน่วยกิต) และเทคนิคหนึ่งในการแก้ปัญหาที่ได้เรียนก็คือการสมมุติว่าคำตอบนั้นประมาณค่าได้ด้วยอนุกรมอนันต์ (Infinite series) สมัยที่เรียนก็ท่องจำกันแต่ว่าถ้าสมการอนุพันธ์มีหน้าตาแบบนี้ ก็ให้ใช้อนุกรมตัวนี้ในการแก้โจทย์ กว่าจะเข้าใจว่าทำไปต้องเป็นเช่นนั้นก็ผ่านไปหลายปีเหมือนกัน กล่าวคืออนุกรมอนันต์แต่ละอนุกรมนั้นมันมีลักษณะเฉพาะตัวของมัน ถ้าเราเลือกอนุกรมอนันต์ที่มีพฤติกรรมใกล้เคียงกับพฤติกรรมของคำตอบของโจทย์ของเรา การลู่เข้าหาคำตอบก็จะรวดเร็วขึ้น กล่าวคือการได้มาซึ่งตัวเลขค่า y หลังจากแทนค่า x เข้าไปในอนุกรมอนันต์ที่เป็นตำตอบนั้นนั้นไม่จำเป็นต้องใช้จำนวนพจน์มาก ลองดูตัวอย่างนี้ได้ใน Memoir ปีที่ ๗ ฉบับที่ ๘๘๗ วันอาทิตย์ที่ ๙ พฤศจิกายน ๒๕๕๗ เรื่อง "ฟังก์ชันแกมมา (Gamma function) และฟังก์ชันเบสเซล (Bessel function)"

  

คำตอบของสมการที่ใช้ในงานทางวิศวกรรมเคมีนั้นจำนวนไม่น้อยเป็นคำตอบที่มีความสมมาตร กล่าวคือ ณ ตำแหน่ง x ใด ๆ ที่ห่างออกไปจากตำแหน่งจุดสมมาตรไม่ว่าจะเป็นทางซ้ายหรือขวาเป็นระยะที่เท่ากัน จะมีค่า y เท่ากัน ตัวอย่างของโจทย์ประเภทนี้ได้แก่การเปลี่ยนแปลงอุณหภูมิและความเข้มข้นในแนวรัศมีของ tubular reactor (ในกรณีของการทำงานแบบ nonisothermal nonadiabatic) ที่มีความสมมาตรรอบแนวแกนกลางของ reactor การเปลี่ยนแปลงความเข้มข้นของสารในอนุภาคตัวเร่งปฏิกิริยาที่เป็นทรงกลมที่มีความสมมาตรรอบจุดศูนย์กลางของทรงกลม เป็นต้น ดังนั้นจะเป็นการดีกว่าถ้าหากเราใช้ฟังก์ชันที่มีความสมมาตรมาเป็นฟังก์ชันที่ใช้ประมาณค่าคำตอบ

  

ฟังก์ชันพหุนามนั้น ถ้ากำลังสูงสุดเป็นเลขคี่ (odd number) ปลายทั้งสองข้าง (คือเมื่อ x เข้าหา ∞ หรือ -∞ ) จะชี้ไปคนละทางกัน แต่ถ้ากำลังสูงสุดเป็นเลขคู่ (even number) ปลายทั้งสองข้างจะชี้ไปคนละทางกัน (คือข้างหนึ่ง y จะเข้าหา ∞ ในขณะที่อีกข้างหนึ่งจะเข้าหา -∞ ) และถ้าเลขยกกำลังนั้นมีแต่เลขคู่ ฟังก์ชันนั้นก็จะมีความสมมาตรรอบแกนสมมาตร (คือห่างจากตำแหน่ง x ที่เป็นจุดสมมาตรไปทางซ้ายและขวาเป็นระยะ x ที่เท่ากัน จะมีค่า y เท่ากัน) และเราก็สามารถใช้ประโยชน์ตรงจุดนี้ในการนำมาสร้าง orthogonal function ที่มีความสมมาตรเพื่อใช้หาคำตอบของปัญหาที่มีความสมมาตร

  

ในหนังสือของ Finlayson หน้า ๙๔ ได้ให้สมการสำหรับคำนวณหา orthogonal function ในช่วง [0, 1] สำหรับฟังก์ชันพนุนามที่เป็นฟังก์ชันคู่ไว้ดังนี้

ดาวน์โหลดบทความ pdf ได้ที่ลิงก์นี้

การคำนวณเชิงตัวเลข (๓๐) การแก้สมการอนุพันธ์ด้วยฟังก์ชันพหุนาม (๕) MO Memoir : Wednesday 18 March 2563

หลังจากทิ้งเรื่องนี้ไป ๕ ปีเศษ (จากธันวาคม ๒๕๕๗) ก็ได้เวลากลับมาเขียนเรื่องนี้ต่อ คือ Memoir ฉบับนี้เป็นตอนต่อจากฉบับก่อนหน้านี้ดังนี้

ปีที่ ๒ ฉบับที่ ๑๗๔ วันอาทิตย์ที่ ๒๐ มิถุนายน ๒๕๕๓ เรื่อง "การคำนวณเชิงตัวเลข (๑) การแก้สมการอนุพันธ์ด้วยฟังก์ชันพหุนาม"

ปีที่ ๒ ฉบับที่ ๑๗๕ วันจันทร์ที่ ๒๑ มิถุนายน ๒๕๕๓ เรื่อง "การคำนวณเชิงตัวเลข (๒) การแก้สมการอนุพันธ์ด้วยฟังก์ชันพหุนาม"

ปีที่ ๗ ฉบับที่ ๘๙๖ วันพฤหัสบดีที่ ๒๗ พฤศจิกายน ๒๕๕๗ เรื่อง "การคำนวณเชิงตัวเลข (๕) การแก้สมการอนุพันธ์ด้วยฟังก์ชันพหุนาม"

ปีที่ ๗ ฉบับที่ ๘๙๙ วันพุธที่ ๓ ธันวาคม ๒๕๕๗ เรื่อง "การคำนวณเชิงตัวเลข (๖) การแก้สมการอนุพันธ์ด้วยฟังก์ชันพหุนาม"

ทั้ง ๔ เรื่องข้างต้นถูกนำไปรวมไว้ใน "MO Memoir รวมบทความชุดที่ ๑๖ วิศวกรรมเคมีภาคคำนวณ" ที่สามารถดาวน์โหลดไฟล์ pdf ได้จากหน้า blog

ในตอนที่ ๑ (ฉบับที่ ๑๗๔) และตอนที่ ๒ (ฉบับที่ ๑๗๕) ของเรื่องนี้ ได้แสดงให้เห็นว่าการเลือกจุดที่กำหนดให้ค่า residual เป็นศูนย์นั้น (จุดที่เรียกว่า collocation point) ส่งผลต่อความถูกต้องของคำตอบที่ได้ แต่โดยหลักก็คือตำแหน่งของจุดที่เลือกนั้นควรเป็นบริเวณที่คำตอบมีการเปลี่ยนแปลงรวดเร็วเมื่อเทียบกับบริเวณอื่น แต่เนื่องจากในหลายกรณีเรามักไม่รู้ว่าคำตอบที่ได้นั้นจะมีการเปลี่ยนแปลงอย่างใด จึงได้มีการนำเสนอว่าถ้าเราประมาณคำตอบด้วย orthogonal polynomial จุดที่เลือกก็ควรเป็น root (จุดที่ค่าฟังก์ชันเป็นศูนย์) ของ orthogonal polynomial และในตอนที่ ๔ ของเรื่องนี้ (ฉบับที่ ๘๙๙) ก็ได้ทิ้งท้ายว่าจะหาเวลามาเขียนเรื่องนี้ต่อ แต่ไม่รู้เหมือนกันว่าทำไมถึงลืมเรื่องนี้ไปได้ วันนี้ก็เลยขอมาเขียนต่อ โดยขอเป็นเรื่อง "Orthogonal function" หรือที่มีคนแปลเป็นไทยว่า "ฟังก์ชันเชิงตั้งฉากก็แล้วกัน" ก็แล้วกัน

บทความฉบับเต็มในรูปแบบไฟล์ pdf อ่านได้ที่ลิงก์นี้